Question

3．如图，已知抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接BC．
（1）求过B，C两点的一次函数关系式；
（2）若点P为线段BC上一点（不与B，C重合），过P作PM平行于y轴，交抛物线于点M，交x轴于点N，当△BCM的面积最大时，求N点的坐标；
（3）在（2）的结论下，抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得NQ垂直于CN？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出C的坐标，然后令y=0，-x²+2x+3=0，求出点B的坐标，利用待定系数法求出过B，C两点的一次函数关系式；
（2）设P（x，-x+3），则M（x，-x²+2x+3），用x表示出PM，利用S_△BCM=S_△PMC+S_△PMB，进而写出关于x的二次函数表达式，即可求出△BCM的面积最大值；
（3）过点N作CN的垂线，交对称轴于点Q，交y轴于点F，利用Rt△NFO∽Rt△CNO求出点F的坐标，求出FN的解析式，即可求出点Q的坐标．

解答 解：（1）由抛物线的解析式为y=-x²+2x+3，可得C（0，3），
令y=0，-x²+2x+3=0，解得x=3或x=-1，
∴A（-1，0），B（3，0），
设过B、C两点的一次函数解析式为y=kx+b，则有：
$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=-x+3；

（2）设P（x，-x+3），则M（x，-x²+2x+3），
∴PM=（-x²+2x+3）-（-x+3）=-x²+3x，
∴S_△BCM=S_△PMC+S_△PMB
=$\frac{1}{2}$PM•NO+$\frac{1}{2}$PM•NB=$\frac{1}{2}$PM（NO+BN）
=$\frac{1}{2}$PM•BO
=$\frac{3}{2}$PM，
∴S_△BCM=$\frac{3}{2}$（-x²+3x）
=-$\frac{3}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
∴当x=$\frac{3}{2}$时，△BCM的面积最大，
∴N（$\frac{3}{2}$，0）；

（3）∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
过点N作CN的垂线，交对称轴于点Q，交y轴于点F，
易证Rt△NFO∽Rt△CNO，
则$\frac{OF}{ON}=\frac{ON}{OC}$，
则$\frac{OF}{\frac{3}{2}}=\frac{\frac{3}{2}}{3}$，
∴F（0，-$\frac{3}{4}$），
又∵N（$\frac{3}{2}$，0），
∴直线FN的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{4}$，
当x=1时，y=-$\frac{1}{4}$，
∴Q（1，-$\frac{1}{4}$）．

点评 本题主要考查了二次函数的综合题的知识，此题涉及到待定系数法求一次函数的解析式、二次函数的性质、相似三角形的判定与性质以及三角形面积的计算，解答此题（2）问需要得到S_△BCM=$\frac{3}{2}$（-x²+3x），解答（3）问需要熟练掌握三角形相似的性质，此题有一定的难度．