Question

13．如图，抛物线经过点A（-1，0）和B（0，2$\sqrt{2}$），对称轴为x=$\frac{5}{4}$．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线与x轴交于另一个交点为C，点D在线段AC上，已知AD=AB，若动点P从A出发沿线段AC以每秒1个单位长度的度数匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从B出发沿线段BC匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线BD垂直平分？若存在，求出点Q的运动速度；若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的前提下，过点B的直线l与x轴的负半轴交于点M，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形与△PBC相似？如果存在，请直接写出M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设抛物线的解析式为y=a（x-$\frac{5}{4}$）²+k，（a≠），把点A（-1，0）和B（0，2$\sqrt{2}$）代入，解方程组即可解决问题．
（2）首先求出A、C坐标，由∠DBP=∠DBQ，可得$\frac{PB}{BC}$=$\frac{PD}{CD}$（角平分线的性质定理，可以用面积法证明），即$\frac{\sqrt{8+（t-1）^{2}}}{\frac{9}{2}}$=$\frac{3-t}{\frac{3}{2}}$，解方程即可解决问题．
（3）存在．理由如下：首先证明∠BPC=∠BAM，分两种情形讨论①当$\frac{AM}{PB}$=$\frac{AB}{PC}$，△MAB∽△BPC，列出方程解方程即可．②当$\frac{AM}{PC}$=$\frac{AB}{PB}$时，△MAB∽CPB，列出方程解方程即可．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-$\frac{5}{4}$）²+k，（a≠），
把点A（-1，0）和B（0，2$\sqrt{2}$）代入得到$\left\{\begin{array}{l}{\frac{81}{16}a+k=0}\\{\frac{25}{16}a+k=2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{4\sqrt{2}}{7}}\\{k=\frac{81}{28}\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
∴y=-$\frac{4\sqrt{2}}{7}$（x-$\frac{5}{4}$）²+$\frac{81\sqrt{2}}{28}$，
∴y=-$\frac{4\sqrt{2}}{7}$x²+$\frac{10\sqrt{2}}{7}$x+2$\sqrt{2}$．

（2）令y=0得到-$\frac{4\sqrt{2}}{7}$x²+$\frac{10\sqrt{2}}{7}$x+2$\sqrt{2}$=0，解得x=$\frac{7}{2}$或-1，
∴C（$\frac{7}{2}$，0），A（-1，0），AB=$\sqrt{{1}^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}$=3，
∵AD=AB，
∴AD=3，
∴D（2，0），
∵PQ被直线BD垂直平分，
∴BP=BQ，
∴∠DBP=∠DBQ，
∴$\frac{PB}{BC}$=$\frac{PD}{CD}$（角平分线的性质定理，可以用面积法证明），
∴$\frac{\sqrt{8+（t-1）^{2}}}{\frac{9}{2}}$=$\frac{3-t}{\frac{3}{2}}$，
∴t=2或$\frac{9}{2}$，
∵t＜3，
∴t=2，
∴BP=3，BQ=3，
∴V_Q=$\frac{3}{2}$．

（3）存在．理由如下：
由题意P（1，0），PB=3，PC=$\frac{5}{2}$，
∵BA=BP=3，
∴∠BAP=∠BPA，
∴∠BPC=∠BAM，
①当$\frac{AM}{PB}$=$\frac{AB}{PC}$，△MAB∽△BPC，
∴$\frac{AM}{3}$=$\frac{3}{\frac{5}{2}}$，
∴AM=$\frac{18}{5}$，OM=OA+AM=$\frac{23}{5}$
∴M（-$\frac{23}{5}$，0）．
②当$\frac{AM}{PC}$=$\frac{AB}{PB}$时，△MAB∽CPB，
∴$\frac{AM}{\frac{5}{2}}$=$\frac{3}{3}$，
∴AM=$\frac{5}{2}$，OM=AM+OA=$\frac{7}{2}$，
∴M（-$\frac{7}{2}$，0）．

点评 本题考查二次函数综合题、线段的垂直平分线的性质、角平分线的性质定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．