Question

8．已知直线y=kx-8k（k＜0）与x轴、y轴分别交于A点、B点，抛物线
y=ax²+x+c经过A点和B点，其顶点为M．
（1）直线y=kx-8k总经过一个固定的点，请直接写出这个固定点的坐标：（8，0）；
（2）当抛物线的对称轴位于直线x=2的右侧时，求k的取值范围；
（3）当k=-$\frac{3}{4}$时，请判断∠AMB是钝角、直角、锐角中的哪一种，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）将直线解析式变形为y=k（x-8），由此即可得出该直线过固定点（8，0）；
（2）根据直线的解析式找出点A、B的坐标，将其代入抛物线解析式中，用含k的代数式表示出a、c的值，再根据抛物线的对称轴位于直线x=2的右侧，即可得出关于k的不等式，解不等式即可得出结论；
（3）找出当k=-$\frac{3}{4}$时，点A、B、M的坐标，根据两点间的距离公式求出AB、AM、BM的长度，根据AB²＞AM²+BM²即可得出∠AMB为钝角．

解答 解：（1）∵y=kx-8k=k（x-8），
∴直线y=kx-8k总经过一个固定的点（8，0）．
故答案为：（8，0）．
（2）当x=0时，y=-8k，
∴B（0，-8k）；
当y=0时，x=8，
∴A（8，0）．
将点A（8，0）、B（0，-8k）代入y=ax²+x+c中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{-8k=c}\\{0=64a+8+c}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{k-1}{8}}\\{b=-8k}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{k-1}{8}$x²+x-8k．
∵抛物线的对称轴位于直线x=2的右侧，
∴-$\frac{1}{2×\frac{k-1}{8}}$＞2，
解得：k＞-1．
∵k＜0，
∴-1＜k＜0．
（3）∠AMB为钝角，理由如下：
当k=-$\frac{3}{4}$时，点B的坐标为（0，6），
此时抛物线的解析式为y=-$\frac{7}{32}{x}^{2}$+x+6=-$\frac{7}{32}$$（x-\frac{16}{7}）^{2}$+$\frac{50}{7}$，
∴点M的坐标为（$\frac{16}{7}$，$\frac{50}{7}$）．
∵A（8，0），
∴AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，AM=$\sqrt{（8-\frac{16}{7}）^{2}+（0-\frac{50}{7}）^{2}}$=$\frac{10}{7}\sqrt{41}$，BM=$\sqrt{（0-\frac{16}{7}）^{2}+（6-\frac{50}{7}）^{2}}$=$\frac{8}{7}\sqrt{5}$，
∵AB²=100，AM²+BM²=$\frac{4420}{49}$，100＞$\frac{4420}{49}$，
∴AB²＞AM²+BM²，
∴∠AMB为钝角．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）将直线的解析式变形为y=k（x-8）；（2）用k表示出a的值；（3）求出AB、AM、BM的长度．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，熟练掌握二次函数的性质是关键．