Question

8．如图（1），在△ABC中，∠C=90°，AC=5cm，BC=4cm．动点P在线段AC上以5cm/s的速度从点A运动到点C．过点P作PD⊥AB于点D，将△APD绕PD的中点旋转180°得到△A′DP．设点P的运动时间为x（s）．
（1）当点A′落在边BC上时，
①四边形AD A′P的形状为平行四边形；
②求出此时x的值；
（2）设△A′DP的三边在△ABC内的总长为y（cm），求y与x之间的函数关系式；
（3）如图（2），另有一动点Q与点P同时出发，在线段BC上以5cm/s的速度从点B运动到点C．过点Q作QE⊥AB于点E，将△BQE绕QE的中点旋转180°得到△B′EQ．连结A′B′．当直线A′B′与AB垂直时，求线段A′B′的长．

Answer 1

分析 （1）①旋转变换中，对应的边相等，再根据“两组对边分别相等”，则可判断出ADA'P为平行四边形，②当A’在BC边上时，根据线段之间的数量关系，求出x的值；
（2）分两种情况讨论，①当A'在△ABC的内部和边BC上，②当A'在△ABC的外部，两种情况分别用x表示相应线段的长度，则可求得y与x的函数关系式；
（3）由A'B'⊥AB，分析得到题中隐藏的相等线段，即可求得A'B'的长度．

解答 解：（1）①如图1，

由旋转的性质可知：PA'=AD，PA=A'D，
故答案为：平行四边形；    
②由AB²=AC²+BC²，得AB=$\sqrt{41}$，
∵sin∠A=$\frac{BC}{AB}=\frac{4}{\sqrt{41}}$，cos∠A=$\frac{AC}{AB}=\frac{5}{\sqrt{41}}$，AP=5x，
∴PA'=AD=APcos∠A=$\frac{25x}{\sqrt{41}}$，CP=5-5x，
∵cos∠CPA'=cos∠A=$\frac{CP}{PA′}$，即$\frac{5-5x}{\frac{25x}{\sqrt{41}}}$=$\frac{5}{\sqrt{41}}$，
解得x=$\frac{41}{66}$；

（2）如图2，

①当0＜x≤$\frac{41}{66}$时，
∵A'P=AD=AP cos∠A=$\frac{25x}{\sqrt{41}}$，PD=APsin∠A=$\frac{20x}{\sqrt{41}}$，A'D=AP=5x，
∴y=A'P+PD+A'D=$\frac{25x}{\sqrt{41}}+\frac{20x}{\sqrt{41}}+5x=\frac{45\sqrt{41}+205}{41}x$；
②当$\frac{41}{66}$＜x≤1时，
∵PM=$\frac{PC}{cos∠A}=\sqrt{41}（1-x）$，
DF=DBcosA=$\frac{41-25x}{\sqrt{41}}•\frac{5\sqrt{41}}{41}=\frac{205-125x}{41}$，
∴y=PM+PD+DF=$\sqrt{41}（1-x）+\frac{20x}{\sqrt{41}}+\frac{205-125x}{41}=\frac{（20\sqrt{41}-166）x+246}{41}$；

（3）如图3，设B'A'垂直AB于H，

则DH=PA'=AD，HE=B'Q=EB，
∴AB=2AD+2EB，即2×$\frac{25x}{\sqrt{41}}$+2×$\frac{20x}{\sqrt{41}}$=$\sqrt{41}$，
解得：x=$\frac{41}{90}$，
又∵B′H=QE=BQsinB=5x•$\frac{5}{\sqrt{41}}$=$\frac{25x}{\sqrt{41}}$，A′H=PD=APsinA=5x•$\frac{4}{\sqrt{41}}$=$\frac{20x}{\sqrt{41}}$，
∴A'B'=B'H-A'H=$\frac{5x}{\sqrt{41}}$=$\frac{5}{\sqrt{41}}$×$\frac{41}{90}$=$\frac{\sqrt{41}}{18}$，
∴A'B'的长度为$\frac{\sqrt{41}}{18}$．

点评 此题考查了旋转变换的性质、平行四边形的判定、分类讨论思想的运用，熟练掌握平行四边形的判定及解直角三角形是解题的关键．