Question

14．如图，直线y=kx+6与x轴，y轴分别交于点E、点F，点E的坐标为（-8，0）
（1）求k的值；
（2）已知点A（-6，0），若点P（x，y）是直线上第二象限内的一个动点，试写出△OPA的面积S关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）探究：在（2）的条件下，当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为$\frac{27}{4}$？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）将点E坐标（-8，0）代入直线y=kx+6就可以求出k值，从而求出直线的解析式；
（2）由点A的坐标为（-6，0）可以求出OA=6，求△OPA的面积时，可看作以OA为底边，高是P点的纵坐标的绝对值．再根据三角形的面积公式就可以表示出△OPA．从而求出其关系式；根据P点的移动范围就可以求出x的取值范围．
（3）根据△OPA的面积为$\frac{27}{8}$代入（2）的解析式求出x的值，再求出y的值就可以求出P点的位置．

解答 解：（1）∵点E（-8，0）在直线y=kx+6上，
∴0=-8k+6，
∴k=$\frac{3}{4}$；

（2）∵k=$\frac{3}{4}$，
∴直线的解析式为：y=$\frac{3}{4}$x+6，
∵P点在y=$\frac{3}{4}$x+6上，设P（x，$\frac{3}{4}$x+6），
∴△OPA以OA为底的边上的高是|$\frac{3}{4}$x+6|，
当点P在第二象限时，|$\frac{3}{4}$x+6|=$\frac{3}{4}$x+6，
∵点A的坐标为（-6，0），
∴OA=6．
∴S=$\frac{1}{2}$×6×（$\frac{3}{4}$x+6）=$\frac{9}{4}$x+18．
∵P点在第二象限，
∴-8＜x＜0；

（3）设点P（m，n）时，其面积S=$\frac{27}{8}$，
则$\frac{1}{2}$•|n|•6=$\frac{27}{8}$，
解得|n|=$\frac{9}{8}$，
则n=$\frac{9}{8}$，n=-$\frac{9}{8}$（舍弃），
当n=$\frac{9}{8}$时，$\frac{9}{8}$=$\frac{3}{4}$m+6，
则m=-$\frac{13}{2}$，
故P（-$\frac{13}{2}$，$\frac{9}{8}$），
所以，点P（-$\frac{13}{2}$，$\frac{9}{8}$）时，三角形OPA的面积为$\frac{27}{8}$．

点评 本题是一道一次函数的综合试题，考查了利用待定系数法求函数的解析式，三角形面积公式的运用以及点的坐标的求法，在解答中画出函数图象和求出函数的解析式是关键．