Question

9．已知，点A（-3，$\frac{5}{4}$），点B（4，3）和抛物线y=$\frac{1}{4}$x²，将抛物线y=$\frac{1}{4}$x²沿着y轴方向平移经过点A（-3，$\frac{5}{4}$）画出平移后的抛物线如图所示
（1）平移后的抛物线是否经过点B（4，3）？说明你的理由
（2）在平移后的抛物线上且位于直线AB下方的图象上是否存在点P，使S_△PAB=7？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由
（3）在平移后的抛物线上有点M，过点M作直线y=-2的垂线，垂足为N，连OM、ON．当∠OMN=60°时，求点M坐标．

Answer 1

分析 （1）直接利用二次函数平移的性质假设出解析式，进而将A点代入求出m的值进而得出答案；
（2）首先求出直线AB的解析式，进而表示出△PAB的面积，进而求出t的值，即可得出答案；
（3）首先表示出ON，NM的长，进而得出△OMN为等边三角形，再利用M点坐标得出t的值，进而得出答案．

解答 解：（1）设平移后的抛物线的解析式为y=$\frac{1}{4}$x²-m，
将A（-3，$\frac{5}{4}$）代入y=$\frac{1}{4}$x²-m，得m=1
则y=$\frac{1}{4}$x²-1，
当x=4时，y=3，
故平移后的抛物线经过点（4，3）；

（2）设直线AB的解析式为：y=kx+b，
把点A（-3，$\frac{5}{4}$），点B（4，3）代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=\frac{5}{4}}\\{4k+b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{4}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
故直线AB的解析式为：y=$\frac{1}{4}$x+2，
设P（t，$\frac{1}{4}$t²-1）
如图1，过点P作PQ∥y轴交AB于Q，
∴Q（t，$\frac{1}{4}$t+2）
∴S_△PAB=$\frac{1}{2}$×[$\frac{1}{4}$t+2-（$\frac{1}{4}$t²-1）]×（4+3）=7，
解得：t=$\frac{1±\sqrt{17}}{2}$，
故$\frac{1}{4}$（$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$）²-1=$\frac{1+\sqrt{17}}{8}$，$\frac{1}{4}$（$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$）²-1=$\frac{1-\sqrt{17}}{8}$，
则P（$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{17}}{8}$）或（$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{17}}{8}$）；

（3）如图2，设M（a，$\frac{1}{4}$a²-1）
则OM²=a²+（$\frac{1}{4}$a²-1）²=（$\frac{1}{4}$a²-1）²，MN²=（$\frac{1}{4}$a²-1+2）²=（$\frac{1}{4}$a²+1）²
∴OM=MN
∵∠OMN=60°
∴△OMN为等边三角形，
则∠MOF=30°，当OF=a，则MF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
可得M（a，$\frac{\sqrt{3}}{3}$a），
故$\frac{\sqrt{3}}{3}$a=$\frac{1}{4}$a²-1，
解得：a₁=2$\sqrt{3}$，a₂=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
则$\frac{\sqrt{3}}{3}$a=2或-$\frac{2}{3}$
∴M（2$\sqrt{3}$，2）或（-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{2}{3}$）．

点评 此题主要考查了二次函数综合以及等边三角形的判定以及待定系数法解析式等知识，正确表示出M点坐标是解题关键．