Question

如图，直线y=-3x-3与x轴、y轴分别相交于点A、C，经过点C且对称轴为x=1的抛物线y=ax²+bx+c与x轴相交于A、B两点．
（1）试求点A、C的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度由点B向点A运动，同时，点N在线段OC上以相同的速度由点O向点C运动（当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动），又PN∥x轴，交AC于P，问在运动过程中，线段PM的长度是否存在最小值？若有，试求出最小值；若无，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）根据直线解析式y=-3x-3，将y=0代入求出x的值，得到直线与x轴交点A的坐标，将x=0代入求出y的值，得到直线与y轴交点C的坐标；
（2）根据抛物线y=ax²+bx+c的对称轴为x=1，且过点A（-1，0）、C（0，-3），列出方程组，解方程组即可求出抛物线的解析式；
（3）由对称性得点B（3，0），设点M运动的时间为t秒（0≤t≤3），则M（3-t，0），N（0，-t），P（x_P，-t），先证明△CPN∽△CAO，根据相似三角形对应边成比例列出比例式

PN

OA

=

CN

OC

，求出x_P=

t

3

-1．再过点P作PD⊥x轴于点D，则D（

t

3

-1，0），在△PDM中利用勾股定理得出PM²=MD²+PD²=（-

4t

3

+4）²+（-t）²=

1

9

（25t²-96t+144），利用二次函数的性质可知当t=

48

25

时，PM²最小值为

144

25

，即在运动过程中，线段PM的长度存在最小值

12

5

．

解答：解：（1）∵y=-3x-3，
∴当y=0时，-3x-3=0，解得x=-1，
∴A（-1，0）；
∵当x=0时，y=-3，
∴C（0，-3）；

（2）∵抛物线y=ax²+bx+c的对称轴为x=1，过点A（-1，0）、C（0，-3），
∴

- b 2a =1 a-b+c=0 c=-3

，解得

a=1 b=-2 c=-3

，
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3；

（3）由对称性得点B（3，0），设点M运动的时间为t秒（0≤t≤3），则M（3-t，0），N（0，-t），P（x_P，-t）．
∵PN∥OA，
∴△CPN∽△CAO，
∴

PN

OA

=

CN

OC

，即

-xP

1

=

3-t

3

，
∴x_P=

t

3

-1．
过点P作PD⊥x轴于点D，则D（

t

3

-1，0），
∴MD=（3-t）-（

t

3

-1）=-

4t

3

+4，
∴PM²=MD²+PD²=（-

4t

3

+4）²+（-t）²=

1

9

（25t²-96t+144），
又∵-

-96

2×25

=

48

25

＜3，
∴当t=

48

25

时，PM²最小值为

144

25

，
故在运动过程中，线段PM的长度存在最小值

12

5

．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有一次函数图象上点的坐标特征，运用待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数的性质，综合性较强，难度适中．运用数形结合、方程思想是解题的关键．