Question

如图所示⊙O的直径DF与弦AB交于点E，C为⊙O外一点，CB⊥AB，G是直线CD上一点，∠ADG＝∠ABD，求证：AD·CE＝DE·DF．

(说明：(1)如果你经历反复探索，没有找到解决问题地方法，请你把探索过程中的某种思维推导过程写出来，(要求至少写3步)．(2)在你历经说明(1)的过程之后，可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明．)

①∠CDB＝∠CEB；②AD∥EC；③∠DEC＝∠ADF，且∠CDE＝90“

Answer 1

答案：
解析：

名师导引：关键是证∠ABD＝∠DCE，连AF证∠DCE＝∠DBE是难点，∵Rt△CDE与Rt△CBE有公共斜边，∴有公共外接圆． 　　解答：如图，连结AF，则∠ABD＝∠F，而∠ADG＝∠ABD，∴∠ADG＝∠F，又∵DF为⊙O直径，∴∠DAF＝，∴∠DAF＝∠CDE＝，又∵CB⊥AB，∴∠CBE＝，取EC中点M，连结DM，BM，则DM＝BM＝EM，即D、E、B、C在以BC为直径的圆上，∴∠ABD＝∠DCE，∴∠DCE＝∠F，即△DAF∽△EDC，∴＝，即AD·CE＝DE·DF． 　　(一)写出探索过程： 　　如图；连接AF．∵DF为⊙O直径，∴∠DAF＝，∠ADF＋∠F＝，∴∠ADG＝∠ABD，∠ABD＝∠F，∴∠ADG＝∠F，∠ADF＋∠ADG＝，∴DF⊥CG． 　　(二)选取①证明，如图，连接AF，则∠ABD＝∠F． 　　∵∠ADG＝∠ABD，∴∠ADG＝∠F，又∵DF是⊙O直径，∴∠DAF＝，∴∠ADF＋∠F＝，∠ADG＋∠ADF＝∠FDC＝，∠DAF＝∠CDE＝，又∵CD是⊙O切线，∴∠BAD＝∠BDC，又∵∠BDC＝∠CEB．∴∠BAD＝∠CEB，AD∥EC，即∠ADF＝∠DEC，∴△DAF∽△EDC．∴＝，即AD·CE＝DE·DF． 　　(三)选取②，如图连接AF，得∠DAF＝∠CDE＝，又∵AD∥CE，∴∠ADF＝∠DEC，∴△DAF∽△EDC，∴＝，即AD·CE＝DE·DF．