Question

如图，在△ABC中，D为AB边上一点、F为AC的中点，过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E，连结AE．
（1）求证：四边形ADCE为平行四边形．
（2）若EF=2

2

，∠FCD=30°，∠AED=45°，求DC的长．

Answer 1

考点：平行四边形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,解直角三角形

专题：

分析：（1）首先证明△DAF≌△ECF，则AD=CE，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证得；
（2）作FH⊥DC于点H，在Rt△DFH中利用三角函数求得FH的长，在Rt△CFH中利用勾股定理即可求解．

解答：（1）证明：∵CE∥AB，∴∠DAF=∠ECF．
∵F为AC的中点，
∴AF=CF．
在△DAF和△ECF中

∠DAF=∠ECF AF=CF ∠AFD=∠CFE

∴△DAF≌△ECF．
∴AD=CE．
∵CE∥AB，
∴四边形ADCE为平行四边形．
（2）作FH⊥DC于点H． 
∵四边形ADCE为平行四边形．
∴AE∥DC，DF=EF=2

2

，
∴∠FDC=∠AED=45°．
在Rt△DFH中，∠DHF=90°，DF=2

2

，∠FDC=45°，
∴sin∠FDC=

FH

DF

=

2

2

，得FH=2，
tan∠FDC=

HF

HD

=1，得DH=2．
在Rt△CFH中，∠FHC=90°，FH=2，∠FCD=30°，∴FC=4．
由勾股定理，得HC=2

3

．
∴DC=DH+HC=2+2

3

．

点评：本题是平行四边形的判定方法，勾股定理和全等三角形的判定的综合应用，正确作出辅助线是关键．