Question

如图，已知在直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AB∥DC，AB=2，DC=3，AD=7，动点P在梯形边AB、BC上，当梯形某两个顶点和动点P能构成直角三角形时，点P到AD之距离记为d，则d为

0≤d≤2，d=

14

5

，d=

21

10

，d=

147

50

，d=3

．

Answer 1

分析：分①点P在AB上时，△APD是直角三角形；②点P在BC上时，△APD是直角三角形，过点P作AD的平行线与AB的延长线相交于点E，与CD相交于点F，可得四边形AEFD是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=AD=7，AE=DF=d，然后根据△APE和△PDF相似，利用相似三角形对应边成比例可得

AE

PF

=

PE

DF

，再根据△PBE和△PCF相似，利用相似三角形对应边成比例可得

EB

CF

=

PE

PF

，然后整理出只含有d的一元二次方程，求解即可；③点P在BC上时，△CDP是直角三角形，过点B作BE⊥CD于E，过点P作PF⊥AD于F，先求出CE，再利用勾股定理列式求出BC，然后利用∠C的正弦列式求出DP，再利用∠PDF的正弦列式求解即可；④点P与点C重合时，点D是直角顶点．

解答：解：①点P在AB上时，△APD是直角三角形，点A是直角顶点，
∵AB=2，
∴d=AP，0＜d≤2；
当点P与点A重合时，△PDC即△ADC是直角三角形，点D是直角顶点．此时d=ap=0，
综上所述，0≤d≤2．
②如图1，点P在BC上时，△APD是直角三角形，
过点P作AD的平行线与AB的延长线相交于点E，与CD相交于点F，
则四边形AEFD是矩形，
∴EF=AD=7，AE=DF=d，
∵∠APD=90°，
∴∠APE+∠DPF=90°，
∵∠PAE+∠APE=90°，
∴∠DPF=∠PAE，
又∵∠E=∠PFD=90°，
∴△APE∽△PDF，
∴

AE

PF

=

PE

DF

，
设PE=x，则PF=7-x，
∴

d

7-x

=

x

d

，
∴d²=-x²+7x，
∵AE∥CD，
∴

EB

CF

=

PE

PF

，
即

d-2

3-d

=

x

7-x

，
∴x=7d-14，
联立

x=7d-14 d2=-x2+7x

，
消掉x得，50d²-245d+294=0，
解得d₁=

14

5

，d₂=

21

10

；
③如图2，点P在BC上时，△CDP是直角三角形，
过点B作BE⊥CD于E，过点P作PF⊥AD于F，
则CE=3-2=1，BE=AD=7，
在Rt△BCE中，BC=

BE2+CE2

=

72+12

=5

2

，
sin∠C=

DP

CD

=

BE

BC

，
即

DP

3

=

7

5 2

，
解得DP=

21 2

10

，
∵∠PDF+∠PDC=90°，∠C+∠PDC=90°，
∴∠PDF=∠C，
∴d=PF=DP•sin∠PDF=

21 2

10

×

7

5 2

=

147

50

；
④点P与点C重合时，点D是直角顶点，△ADC是直角三角形，
∴d=CD=3，
综上所述，d为0＜d≤2，d=

14

5

，d=

21

10

，d=

147

50

，d=3．
故答案为：0＜d≤2，d=

14

5

，d=

21

10

，d=

147

50

，d=3．

点评：本题考查了直角梯形，勾股定理的应用，相似三角形的性质，锐角三角函数，综合题，难点在于根据点P的位置分情况讨论．