Question

19．已知关于x的方程（k+1）x²+（3k-1）x+2k-2=0
（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）若此方程有两个整数根，求正整数k的值；
（3）若一元二次方程（k+1）x²+（3k-1）x+2k-2=0满足|x₁-x₂|=3，求k的值．

Answer 1

分析 （1）分k+1=0和k+1≠0两种情况考虑：当k+1=0时，方程为一元一次方程，有实数根；当k+1≠0时，根的判别式△=（k-3）²≥0，由此可得出方程有实数根．综上即可证出结论；
（2）由方程有两个实数根，可得出k≠-1，利用求根公式求出x₁、x₂的值，由x₁=-1和x₂为整数以及k为正整数，即可求出k的值；
（3）结合（2）的结论即可得出关于k的含绝对值符号的分式方程，解方程即可得出结论，经检验后，此题得解．

解答 解：（1）证明：当k+1=0，即k=-1时，原方程为-4x-4=0，
解得：x=-1；
当k+1≠0，即k≠-1时，△=（3k-1）²-4（k+1）（2k-2）=k²-6k+9=（k-3）²≥0，
∴方程有实数根．
综上可知：无论k取何值，此方程总有实数根．
（2）∵方程有两个整数根，
∴x₁=$\frac{1-3k+（k-3）}{2（k+1）}$=-1，x₂=$\frac{1-3k-（k-3）}{2（k+1）}$=$\frac{2（1-k）}{k+1}$=-2+$\frac{4}{k+1}$，且k≠-1，
∵x₂为整数，k为正整数，
∴k=1或k=3．
（3）由（2）得x₁=-1，x₂=-2+$\frac{4}{k+1}$，且k≠-1，
∴|x₁-x₂|=|-1-（-2+$\frac{4}{k+1}$）|=|1-$\frac{4}{k+1}$|=3，
解得：k=2或k=-1（舍去），
经检验k=2是原方程的解．
故k的值为2．

点评 本题考查了根的判别式、解含绝对值符号的分式方程以及利用公式法解方程，解题的关键是：（1）分k+1=0和k+1≠0两种情况考虑；（2）找出x₁=-1，x₂=-2+$\frac{4}{k+1}$；（3）找出关于k的含绝对值符号的分式方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，利用根的判别式的符号得出方程解的情况是关键．