Question

a，b是正数，并且抛物线y=x²+ax+2b和y=x²+2bx+a都与x轴有公共点，则a²+b²的最小值是

20

．

Answer 1

分析：先根据抛物线y=x²+ax+2b和y=x²+2bx+a都与x轴有公共点可得到△＞0，可得到关于a、b的不等式，再利用不等式的基本性质即可解答．

解答：解：由题设知a²-8b≥0，4b²-4a≥0．
则a⁴≥64b²≥64a，
∵a，b是正数，
∴a≥4，b²≥a≥4．
∴a²+b²≥20．
又∵当a=4，b=2时，抛物线y=x²+ax+2b和y=x²+2bx+a都与x轴有公共点，
∴a²+b²的最小值是20．
故答案为：20．

点评：本题考查的是二次函数的图象与x轴的交点问题，解答此题的关键是熟知根据△判断抛物线与x轴的交点问题及不等式的基本性质．