Question

16．如图，直线y=$\frac{1}{2}$x与双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）交于点A，将直线y=$\frac{1}{2}$x向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C，与双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）交于点B，OA=3BC．
（1）求k的值；
（2）计算△AOB的面积．

Answer 1

分析 （1）分别过点A、B作AD⊥x轴，BE⊥x轴，CF⊥BE于点F，再设A（3x，$\frac{3}{2}$x），由于OA=3BC，故可得出B（x，$\frac{1}{2}$x+4），再根据反比例函数中k=xy为定值求出k的值即可；
（2）由（1）得出点A、B的坐标后，利用割补法求解可得．

解答 解：（1）分别过点A、B作AD⊥x轴，BE⊥x轴，CF⊥BE于点F，

设A（3x，$\frac{3}{2}$x），
∵OA=3BC，BC∥OA，CF∥x轴，
∴△BCF∽△AOD，
∴CF=$\frac{1}{3}$OD，
∵点B在直线y=$\frac{1}{2}$x+4上，
∴B（x，$\frac{1}{2}$x+4），
∵点A、B在双曲线y=$\frac{k}{x}$上，
∴3x•$\frac{3}{2}$x=x•（$\frac{1}{2}$x+4），解得x=1，
∴k=3×1×$\frac{3}{2}$×1=$\frac{9}{2}$；

（2）由（1）知点A（3，$\frac{3}{2}$）、B（1，$\frac{9}{2}$），
则S_△AOB=S_矩形ODGH-S_△AOD-S_△BOH-S_△ABG
=3×$\frac{9}{2}$-$\frac{9}{4}$-$\frac{9}{4}$-$\frac{1}{2}$×2×3
=6．

点评 本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，根据题意作出辅助线，设出A、B两点的坐标，再根据k=xy的特点求出k的值即可．