题目内容

反比例函数 $数学公式$ 的图象上有一点P（m，n），其坐标是关于t的一元二次方程t²-3t+k=0的两个根，且点P到原点的距离为 $数学公式$ ，则该反比例函数解析式为________．

$\text{[math]}$
分析：根据点P（m，n）在反比例函数y= $\text{[math]}$ 的图象上，将P坐标代入反比例解析式得到mn=k，由P（m，n）的坐标是关于t的一元二次方程t²-3t+k=0的两根，根据根与系数关系得到m+n=3，又P点到原点的距离为 $\text{[math]}$ ，利用勾股定理可得m²+n²=5，将所得三个式子组成方程组，即可求出k的值，从而确定出反比例的解析式．
解答：将P（m，n）代入反比例函数y= $\text{[math]}$ 得，mn=k；
∵P（m，n）的坐标是关于t的一元二次方程t²-3t+k=0的两根，
∴m+n=3，
∵P点到原点的距离为 $\text{[math]}$ ，根据勾股定理可得m²+n²=5，
于是由题意得： $\text{[math]}$ ，
将②两边平方得：m²+n²+2mn=9④，
将①③代入④得：2k+5=9，
解得：k=2．
则反比例函数解析式为y= $\text{[math]}$ ．
故答案为：y= $\text{[math]}$
点评：此题将反比例函数图象上点的坐标特征、勾股定理及一元二次方程根与系数的关系相结合，考查了同学们的综合应用能力．本题对方程②的合理变形，有一定难度．