Question

19．如图，在平面直角坐标系中，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹：
步骤1：以点O为圆心，任意长为半径画弧，与x轴负半轴交于点A，与直线y=$\sqrt{3}$x交于点B（点B在第三象限）：
步骤2：分别以点A，B为圆心，以大于$\frac{1}{2}$AB长为半径画弧，两弧交于点C．
则直线OC的函数解析式为（　　）

• A． y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x
• B． y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x
• C． y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x
• D． y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x

Answer 1

分析 作BD⊥x轴于D，作CE⊥x轴于E，如图，设B（m，$\sqrt{3}$m），利用正切的定义得到tan∠BOD=$\sqrt{3}$，则∠BOD=60°，再利用基本作图得到OC平分∠AOB，则∠AOC=30°，设CE=$\sqrt{3}$t，则OE=3t，所以C（-3t，-$\sqrt{3}$t），然后利用待定系数法求直线OC的解析式．

解答 解：作BD⊥x轴于D，作CE⊥x轴于E，如图，
设B（m，$\sqrt{3}$m），
∴tan∠BOD=$\frac{-\sqrt{3}m}{-m}$=$\sqrt{3}$，
∴∠BOD=60°，
由作法得OC平分∠AOB，
∴∠AOC=30°，
在Rt△CEO中，tan∠COE=tan30°=$\frac{CE}{OE}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
设CE=$\sqrt{3}$t，则OE=3t，
则C（-3t，-$\sqrt{3}$t），
设直线OC的解析式为y=kx，
把C（-3t，-$\sqrt{3}$t）代入得-$\sqrt{3}$t=-3tk，解得k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直线OC的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x．
故选C．

点评 本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．