Question

如图，△ABC中，∠B=∠C，AD⊥BC于点D，BG⊥AC于点G．
（1）证明△ABD≌△ACD；
（2）若DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，DE=3，求DF的长及BG的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质

专题：

分析：（1）利用AAS即可证明△ABD≌△ACD；
（2）根据角平分线的性质易求DF的长，再根据三角形的面积为定值即可求出BG的长．

解答：（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在△ABD和△ACD中，

∠B=∠C ∠ADB=∠ADC AD=AD

，
∴△ABD≌△ACD（AAS）；

（2）解：∵△ABC中，∠B=∠C，
∴AB=AC
又∵AD⊥BC，
∴AD 平分∠BAC，
∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，DE=3
∴DF=DE=3，
∵S_△ABC=

1

2

AC•BG，
又∵BG⊥AC于点G，
∴S_△ABC=S_△ABD+S_△ACD=

1

2

AB•DE+

1

2

AC•DF
∴

1

2

AC•BG=

1

2

AB•DE+

1

2

AC•DF
∴BG=DE+DF．

点评：本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质以及三角形面积公式的运用，解题的关键是求BG时注意整体的数学数学运用．