Question

8．如图，矩形ABCD的对角线交于O点，已知∠ABD=60°，过点O作EO⊥BD交BA延长线于点E，交AD于点N，连接ED、EC，EC分别交AD、BD于点F和点M．
（1）求证：四边形EACD是平行四边形；
（2）求$\frac{OM}{MD}$的值；
（3）请连接BN，在不增加新点与线段的前提下，图中现有三角形中，与△NOB的面积相等的三角形（注：不含△NOB）共有5个．

Answer 1

分析 （1）先判定△BDE是等边三角形，再根据等边三角形的性质得出AB=AE，最后根据AE=CD，AE∥CD，得出四边形EACD是平行四边形；
（2）根据平行四边形ACDE中DE∥CO，判定△COM∽△EDM，再根据相似三角形的性质得出$\frac{OM}{DM}$=$\frac{CO}{ED}$，进而求得$\frac{OM}{MD}$的值；
（3）先根据等边三角形的轴对称性质得出，△NOB与△NOD、△NAB、△NAE的面积均相等，再根据MN∥DE以及CO∥DE，运用同底等高的三角形面积相等，分别得出△EOM、△DCM与△NOB面积相等即可．

解答 解：（1）∵矩形ABCD中，BO=DO，EO⊥BD，
∴EO垂直平分BD，
∴EB=ED，
又∵∠ABD=60°，
∴△BDE是等边三角形，
又∵DA⊥BE，
∴AB=AE，
∵矩形ABCD中，CD∥BA，CD=AB，
∴AE=CD，AE∥CD，
∴四边形EACD是平行四边形；

（2）∵四边形EACD是平行四边形，
∴DE=AC，DE∥CO，
∴△COM∽△EDM，
∴$\frac{OM}{DM}$=$\frac{CO}{ED}$，
又∵CO=$\frac{1}{2}$AC，DE=AC，
∴CO=$\frac{1}{2}$DE，
∴$\frac{OM}{MD}$=$\frac{1}{2}$；

（3）连接BN，则
由等边△BDE的轴对称性可得，△NOB与△NOD、△NAB、△NAE的面积均相等，
由（2）可得，$\frac{OM}{MD}$=$\frac{1}{2}$，
同理可得，$\frac{ON}{NE}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OM}{OD}=\frac{ON}{OE}=\frac{1}{3}$，
∴MN∥DE，
∴△MNE与△MND的面积相等，
∴△FNE与△FMD的面积相等，
∴△EOM与△DON的面积相等，
由CO∥DE可得，△OCE与△COD的面积相等，
∴△EOM与△DCM的面积相等，
综上，与△NOB面积相等的三角形有：△NOD、△NAB、△NAE、△EOM、△DCM这5个．
故答案为：5

点评 本题主要考查了四边形的综合应用，解决问题的关键是掌握等边三角形的判定与平行四边形的判定方法．在解题时注意：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边，据此可以得到同底等高的三角形面积相等．