Question

如图，AB是⊙O的直径，CB是⊙O的弦，D是

AC

的中点，过点D作直线于BC垂直，交BC延长线于E点，且交BA延长线于F点．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若tanB=

7

3

，BE=6，求⊙O的半径．

Answer 1

分析：（1）连接OD，根据圆周角定理，可证明∠AOD=∠B，则OD∥BC，从而得出∠ODF=90°，即EF是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为r，因为∠AOD=∠B，tanB=

7

3

，则DF=

7 r

3

，再由△ODF∽△BEF，即可得出r．

解答：（1）证明：连接OD，
∵D是

AC

的中点，
∴∠AOD=∠B，
∴OD∥BC，
∵EF⊥BE，
∴∠E=90°，
∴∠ODF=90°，
即EF是⊙O的切线；

（2）解：设⊙O的半径为r，∵∠AOD=∠B，tanB=

7

3

，BE=6，
∴DF=

7 r

3

，
∵

EF

BE

=

7

3

∴EF=2

7

，
∴EF²+BE²=BF²，
即BF=8，
∵OD∥BC，
∴△ODF∽△BEF，
∴

DO

BE

=

AF

BF

，
即

r

6

=

OF

8

，
则OF=

4

3

r，
∴由切割线定理得，DF²=AF•BF，
即

7

9

r²=

1

3

r×8，
解得r=

24

7

．

点评：本题考查了切线的性质和判定、圆周角定理以及解直角三角形．证明三角形的相似、切割线定理的应用是比较重要的内容．