Question

4．如图，∠ABC=30°，O是BA上一点，以O为圆心作圆与BC相切于D点，交BO于点E，连结ED，F是OA上的一点，从F作FG⊥AB交BC于点G，BD=$\sqrt{3}$．设OF=x，四边形EDGF的面积为y．
（1）求x与y函数关系式 （不必求自变量的取值范围）．
（2）若四边形EDGF的面积是△BED面积的5倍，试确定FG所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）连结OD．则OD⊥BC，由△BOD∽△BGF，推出$\frac{{{S_{△BOD}}}}{{{S_{△BGF}}}}=\frac{{B{D^2}}}{{B{F^2}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{{{{（2+x）}^2}}}$，即可解决问题．
（2）根据题意列出方程，求出OF的长即可解决问题．

解答 解（1）连结OD．则OD⊥BC．
∵∠B=30°，BD=$\sqrt{3}$，
∴OD=1，BO=2，
∴BE=BO-OE=1，
BF=2+x，
S_△BED=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，
∵∠B=∠B，∠ODB=∠BFG=90°
∴△BOD∽△BGF，
∴$\frac{{{S_{△BOD}}}}{{{S_{△BGF}}}}=\frac{{B{D^2}}}{{B{F^2}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{{{{（2+x）}^2}}}$，
∴${S_{△RGF}}=\frac{{\sqrt{3}}}{6}{（2+x）^2}$，
∴$y=\frac{{\sqrt{3}}}{6}{（2+x）^2}-\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，
即：$y=\frac{{\sqrt{3}}}{6}{x^2}+\frac{2}{3}\sqrt{3}x+\frac{5}{12}\sqrt{3}$．

（2）由题意：$\frac{{\sqrt{3}}}{6}{（2+x）^2}-\frac{{\sqrt{3}}}{4}=5×\frac{{\sqrt{3}}}{4}$
得：x=1或x=-5（舍）
∴OF=1
∵FG⊥OF
∴FG与⊙O相切．

点评 本题考查切线的性质和判定、相似三角形的判定和性质等知识解题的关键是今天发这些构造相似三角形，利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．