Question

18．有n个数，第一个记为a₁，第二个记为a₂，…，第n个记为a_n，若a₁=$\frac{1}{2}$，且从第二个数起，每个数都等于“1与它前面那个数的差的倒数”．即a₂=$\frac{1}{1-{a}_{1}}$，a₂=$\frac{1}{1-{a}_{2}}$，…，a_n=$\frac{1}{1-{a}_{n-1}}$．
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）根据（1）的计算结果，请你猜想并写出a₂₀₁₆，a₂₀₁₇的值；
（3）求a₁×a₂×a₃×…×a₂₀₁₅×a₂₀₁₆×a₂₀₁₇的值．

Answer 1

分析 （1）根据数列中数的特性结合a₁=$\frac{1}{2}$，即可求出a₂，a₃，a₄的值；
（2）根据a₄=a₁即可得出该数列每三个一循环，依此规律即可求出a₂₀₁₆，a₂₀₁₇的值；
（3）结合（1）（2）代入数据即可求出结论．

解答 解：（1）a₂=$\frac{1}{1-\frac{1}{2}}$=2，a₃=$\frac{1}{1-2}$=-1，a₄=$\frac{1}{1-（-1）}$=$\frac{1}{2}$．
（2）∵a₄=a₁，
∴该数列每三个一循环．
∵2016=3×672，2017=3×672+1，
∴a₂₀₁₆=a₃=-1，a₂₀₁₇=a₁=$\frac{1}{2}$．
（3）原式=$\frac{1}{2}$×2×（-1）×…×2×（-1）×$\frac{1}{2}$，
=（-1）⁶⁷²×$\frac{1}{2}$，
=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了规律型中数字的变化类，根据数列中数的变化找出变化规律是解题的关键．