题目内容

在△ABC中，∠C=90°，BC、AC、AB三边的长分别为a、b、c，则sinA=
a
c
，cosA=
b
c
，tanA=
a
b
．
（1）是根据定义并结合勾股定理探求sinA，tanA，cosA之间存在的一般关系，并说明理由；
（2）利用上面探索的结论解答下面问题：
①若∠A为锐角，sinA=
4
5
，求cosA；
②已知∠A为锐角，且tanA=3，求
3cosA+2sinA
6cosA-sinA
的值．
考点：解直角三角形,勾股定理
专题：计算题
分析：（1）先计算出sin2A+sin2B=
a2+b2
c2
，再根据勾股定理a2+b2=c2，易得sin2A+sin2B=1；然后计算出
sinA
sinB
=
a
b
，则根据正切的定义得到tanA=
sinA
sinB
；
（2）①根据（1）中的结论得到sin2A+cos2A=1，然后把sinA=
4
5
代入计算即可；
②根据（1）中的结论得到tanA=
sinA
cosA
=3，则sinA=3cosA，然后把sinA=3cosA代入
3cosA+2sinA
6cosA-sinA
中进行合并、约分即可．
解答：解：（1）∵sin2A+sin2B=
a2
c2
+
b2
c2
=
a2+b2
c2
，
而a2+b2=c2，
∴sin2A+sin2B=1；
∵
sinA
sinB
=
a
c
b
c
=
a
b
，
∴tanA=
sinA
sinB
；
（2）①∵sin2A+sin2B=1（∠A+∠B=90°），
∴sin2A+cos2A=1；
∴cosA=
1-sin2A
=
1-(
4
5
)2
=
3
5
；
②∵tanA=
sinA
sinB
（∠A+∠B=90°），
∴tanA=
sinA
cosA
=3，
∴sinA=3cosA，
∴
3cosA+2sinA
6cosA-sinA
=
3cosA+6cosA
6cosA-3cosA
=3．
点评：本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了勾股定理．
练习册系列答案
相关题目
计算：
2
+1
2
÷
2
-1
3
．
已知a，b，c为△ABC的三边且满足a2+b2+2ac=2ab+2bc，判断△ABC的形状，并说明理由．
用配方法证明：-2x2+4x-10＜0恒成立．
如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，∠1=∠2，AF是△ABC的角平分线，交CD于点E，求证：∠ACB=90°．
有理数a，b，c，d，在数轴上的位置一条轴，有5个点，距离相等，第一个点表示d，第二个点表示c，第3个点表示b，第4个点表示0，第5个点表示a． 
试确定代数式：（1）
a+b
b
；（2）
b-c
d-b
×ab的符号．
计算：
（1）|
2
-
3
|+2
2
；
（2）（-2）3×
(-4)2
+
3(-4)3
×（-
1
2
）2-
327
；
（3）（-2y3）2+（-4y2）3-（-2y）2（-3y2）2；
（4）[（3x一2y）2-（3x+2y）2+3x2y2]÷2xy；
（5）（-1）2009×（-
1
2
）-2+（
3
-π）0+|1-sin60°|．
若实数a，b，c满足|a-
2
|+
b-2
=
c-3
+
3-c

（1）求a，b，c；
（2）若满足上式的a，b为等腰三角形的两边，求这个等腰三角形的周长．
解方程：3（x-1）-6=0．

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