Question

16．如图，菱形ABCD的周长为40cm，对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AB，垂足为E，DE：AB=4：5，则下列结论：①DE=8cm；②BE=4cm；③BD=4$\sqrt{5}$cm；④AC=8$\sqrt{5}$cm；⑤S_菱形ABCD=80cm，正确的有（　　）

• A． ①②④⑤
• B． ①②③④
• C． ①③④⑤
• D． ①②③④⑤

Answer 1

分析 由菱形的性质可求得菱形的边长，结合DE：AB=4：5可判断①；在Rt△ABE中由勾股定理可求得AE，则可求得BE，可判断②；在Rt△BDE中由勾股定理可求得BD，可判断③；由菱形的对角线互相平分，可求得BO，在Rt△AOB中可求得AO，可求得AC，可判断④；根据求得的AC和BD可求得菱形的面积，可判断⑤，可得出答案．

解答 解：∵菱形ABCD的周长为40cm，
∴AB=$\frac{1}{4}$×4cm=10cm，
∵DE：AB=4：5，
∴DE=8cm，
故①正确；
∵DE⊥AB，且AD=10cm，DE=8cm，
∴AE=$\sqrt{A{D}^{2}-D{E}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6（cm），
∴BE=AB-AE=10cm-6cm=4cm，
故②正确；
∵DE=8cm，BE=4cm，
∴BD=$\sqrt{B{D}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$（cm），
故③正确；
∵四边形ABCD是菱形，
∴BO=$\frac{1}{2}$BD=2$\sqrt{5}$cm，且AC⊥BD，
∴AO=$\sqrt{A{B}^{2}-B{O}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-（2\sqrt{5}）^{2}}$=4$\sqrt{5}$（cm），
∴AC=2AO=8$\sqrt{5}$cm，
故④正确；
∴S_菱形ABCD=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$×8$\sqrt{5}$×4$\sqrt{5}$=80（cm²），
故⑤不正确，单位错误；
∴正确的为①②③④，
故选B．

点评 本题主要考查菱形的性质，掌握菱形的四边相等、对角线互相垂直且平分是解题的关键．注意菱形面积公式的应用．