题目内容
10．如果一个正整数能表示为两个连续的偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如果4=22-02，12=42-22，20=62-42，因此4，12，20都是“神秘数”．（1）28和2020这两个数是“神秘数”吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为2k和2k+2（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数吗？为什么？
（3）两个连续的奇数的平方差（取正整数）是“神秘数”吗？为什么？
分析 （1）根据“神秘数”的定义，只需看能否把28和2020这两个数写成两个连续偶数的平方差即可判断；
（2）运用平方差公式进行计算，进而判断即可；
（3）运用平方差公式进行计算，进而判断即可．
解答 解：（1）∵28=82-62，2020=5062-5042，
∴28是“神秘数”；2020是“神秘数”；
（2）两个连续偶数构成的“神秘数”是4的倍数．
理由如下：
（2k+2）2-（2k）2=（2k+2+2k）（2k+2-2k）=2（4k+2）=4（2k+1），
∴两个连续偶数构成的“神秘数”是4的倍数，
∵2k+1是奇数，
∴它是4的倍数，不是8的倍数；
（3）设两个连续的奇数为：2k+1，2k-1，则
（2k+1）2-（2k-1）2=8k，
此数是8的倍数，而由（2）知“神秘数”是4的倍数，但不是8的倍数，
所以两个连续的奇数的平方差不是神秘数．
点评 此题考查了因式分解的实际运用，掌握平方差公式，理解新定义的意义是解题关键．
练习册系列答案
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