Question

17．如图，抛物线y=ax²+bx+c关于直线x=1对称，与坐标轴交于A，B，C三点，且AB=4，点D（2，$\frac{3}{2}$）在抛物线上，直线l是一次函数y=kx-2（k≠0）的图象，点O是坐标原点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线l平分四边形OBDC的面积，求k的值．

Answer 1

分析 （1）由抛物线的对称轴为x=1，AB=4，可求出A、B两点的横坐标，从而可将抛物线的解析式设成交点式，然后把点D的坐标代入抛物线的解析式就可解决问题；
（2）根据抛物线的解析式可求出点C的坐标，从而得到CD∥x轴，CD=2，进而可求出四边形OBDC的面积，设直线y=kx-2与CD、x轴分别交于点E、F，然后用k的代数式表示点E、F的横坐标，然后根据条件“直线l平分四边形OBDC的面积”，建立关于k的方程，就可求出k的值．

解答 解：（1）∵抛物线的对称轴为x=1，AB=4，
∴x_A=1-$\frac{4}{2}$=-1，x_B=1+$\frac{4}{2}$=3．
则抛物线的解析式可设为y=a（x+1）（x-3）．
∵点D（2，$\frac{3}{2}$）在抛物线上，
∴$\frac{3}{2}$=a（2+1）（2-3），
解得：a=-$\frac{1}{2}$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-3），即y=-$\frac{1}{2}$x²+x+$\frac{3}{2}$；

（2）设直线y=kx-2与CD、x轴分别交于点E、F，如图所示．

由x_C=0得y_C=$\frac{3}{2}$，则点C的坐标为（0，$\frac{3}{2}$）．
∵D（2，$\frac{3}{2}$），∴CD∥x轴，CD=2，
∴S_{四边形OBDC}=$\frac{1}{2}$×（2+3）×$\frac{3}{2}$=$\frac{15}{4}$．
由y_E=$\frac{3}{2}$得x_E=$\frac{7}{2k}$，由y_F=0得x_F=$\frac{2}{k}$，
∴S_{四边形OFEC}=$\frac{1}{2}$×（$\frac{2}{k}$+$\frac{7}{2k}$）×$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{15}{4}$，
解得：k=$\frac{33}{15}$．

点评 本题主要考查了抛物线的轴对称性、抛物线的交点式、直线上点的坐标特征等知识，抛物线的解析式通常有三种形式：一般形式y=ax²+bx+c（a≠0），顶点式y=a（x-h）²+k（a≠0），（其中顶点坐标为（h，k）），交点式为y=a（x-x₁）（x-x₂）（a≠0），（其中抛物线与x轴的交点坐标分别为（x₁，0），（x₂，0）），应灵活应用．