Question

7．如图，OC平分∠AOB，∠AOB=90°，点P是射线OC上一点，且OP=4，点M、N分别在射线OA和射线OB上，若△PMN是等腰直角三角形，则符合条件的△PMN有无数个．

Answer 1

分析 先作出特殊位置的图1，再作图2：先作等腰△PMN，证明后发现，△PMN也是等腰直角三角形．

解答 解：①如图1，当PM⊥OA，PN⊥OB时，△PMN是等腰直角三角形；

②如图2，在OA上任意取一点M，连接PM，以P为圆心，PM为半径作圆，交射线OB于N，连接MN、PN，则△PMN是等腰直角三角形；
理由是：过P分别作OA、OB的垂线段PD、PE，垂足分别为D、E，
则∠PDM=∠PEN=90°，
∵OC平分∠AOB，
∴PD=PE，
∵PM=PN，
∴Rt△PDM≌Rt△PEN，
∴∠DPM=∠EPN，
∵∠EPD=90°，
∴∠MPN=90°，
∴△PMN是等腰直角三角形，
综上所述，符合条件的△PMN有无数个；
故答案为：无数．

点评 本题考查了全等三角形、等腰直角三角形的性质和判定、角平分线的性质，明确等腰直角三角形的两直角边相等，两锐角都是45°；并运用全等三角形确定所画的等腰三角形是等腰直角三角形．