题目内容
如图，按一定的规律用牙签搭图形：
（1）按如图所示的规律填表：
| 图形标号 | ① | ② | ③ | ④ | … |
| 牙签根数 | … |
（3）搭第n个图形需要______根牙签．
（4）如果现有2011颗牙签，那么他按照这种规律从①个图案摆放下去，是否可以摆放成完整的图案后刚好2011颗牙签一颗不剩？如果可以，那么刚好摆放完成几个完整的图案？如果不行，那么最多可以摆放多少个完整图案，还剩余几颗牙签？（只答结果，不说明理由）
解：（1）如表，
（2）第10个图形需
=
=155个；
（3）第n个图形需要（1+2+3+…+n）×3-n=
；
（4）由题意得
n（n+1）2=2011，
可知n3＜n（n+1）2=4022＜（n+1）3，
15≤n＜16，
当n=15时，得n（n+1）2=1920，
2011-1920=91（颗），
由以上可知，不可以摆放成完整的图案后刚好2011颗牙签一颗不剩，
当摆放完成15个完整图案，还剩下91颗牙签．
分析：（1）第一个图形是围成1个三角形的根数减1，第二个图形是围成（1+2）个三角形的根数减2，第三个图形是围成（1+2+3）个三角形的根数减3，…由此找出搭第n个图形需要（1+2+3+…+n）×3-n=根牙签；
（2）（3）由（1）得出的规律解答即可；
（4）由前n项的和的计算公式An=n（n+1）2代入估算判定解答即可．
点评：解决此题的关键是数形结合，找出规律，进一步利用通项解决问题．
| 图形标号 | ① | ② | ③ | ④ | … |
| 牙签根数 | 2 | 7 | 15 | 26 | … |
==155个；（3）第n个图形需要（1+2+3+…+n）×3-n=
；（4）由题意得
n（n+1）2=2011，可知n3＜n（n+1）2=4022＜（n+1）3，
15≤n＜16，
当n=15时，得
n（n+1）2=1920，2011-1920=91（颗），
由以上可知，不可以摆放成完整的图案后刚好2011颗牙签一颗不剩，
当摆放完成15个完整图案，还剩下91颗牙签．
分析：（1）第一个图形是围成1个三角形的根数减1，第二个图形是围成（1+2）个三角形的根数减2，第三个图形是围成（1+2+3）个三角形的根数减3，…由此找出搭第n个图形需要（1+2+3+…+n）×3-n=
根牙签；（2）（3）由（1）得出的规律解答即可；
（4）由前n项的和的计算公式An=
n（n+1）2代入估算判定解答即可．点评：解决此题的关键是数形结合，找出规律，进一步利用通项解决问题．
练习册系列答案
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如图，按一定的规律用牙签搭图形：
（1）按如图所示的规律填表：
（2）搭第10个图形需要 根牙签．
（3）搭第n个图形需要 根牙签．
（4）如果现有2011颗牙签，那么他按照这种规律从①个图案摆放下去，是否可以摆放成完整的图案后刚好2011颗牙签一颗不剩？如果可以，那么刚好摆放完成几个完整的图案？如果不行，那么最多可以摆放多少个完整图案，还剩余几颗牙签？（只答结果，不说明理由）
（1）按如图所示的规律填表：
| 图形标号 | ① | ② | ③ | ④ | … |
| 牙签根数 | … |
（3）搭第n个图形需要
（4）如果现有2011颗牙签，那么他按照这种规律从①个图案摆放下去，是否可以摆放成完整的图案后刚好2011颗牙签一颗不剩？如果可以，那么刚好摆放完成几个完整的图案？如果不行，那么最多可以摆放多少个完整图案，还剩余几颗牙签？（只答结果，不说明理由）
如图，按一定的规律用点组成三角形图案．
（1）根据图中反映的规律填表．
| 图形符号 | ① | ② | ③ | ④ | … |  |
| 点的总数 | ______ | ______ | ______ | ______ | … | ______ |