Question

14．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=2，BC=4．P为线段BC上的
一动点，且和点B，C不重合，连接PA，过点P作PE⊥PA交CD所在直线于点E，
将△PEC沿PE翻折至△PEG的位置，连接AG，若∠BAG=90°，则线段BP的长为$\frac{2}{3}$或2．

Answer 1

分析 作AM⊥PG于M．设BP=x．首先证明△APB≌△APM，在Rt△AMG中利用勾股定理列出方程即可解决问题．

解答 解：如图，作AM⊥PG于M．设BP=x．

∵∠APE=90°，
∴∠APG+∠GPE=90°，∠APB+∠EPC=90°，
∵∠EPG=∠EPC，
∴∠BPA=∠APM，
∵AB⊥BP，AM⊥PG，
∴AB=AM=2，
在Rt△APB和Rt△APM中，
$\left\{\begin{array}{l}{PA=PA}\\{AB=AM}\end{array}\right.$，
∴△APB≌△APM，
∴PB=PM=x，
∵AG∥BC，
∴∠APB=∠PAG=∠APG，
∴AG=GP=PC=4-x，
在Rt△AMG中，∵AM²+MG²=AG²，
∴2²+（4-2x）²=（4-x）²，
∴3x²-8x+4=0，
∴x=2或$\frac{2}{3}$，
∴PB=2或$\frac{2}{3}$，
故答案为$\frac{2}{3}$或2

点评 本题考查翻折变换、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，教育的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．