Question

5．如图，在正方形ABCD中，边长为1，F是边BC上一动点（点F与点B、点C均不重合），且AF⊥AE，AE交CD的延长线于点E，联结EF交AD于点G．
（1）求证：BF•FC=DG•EC；
（2）设BF为x，△AEF的面积为y，请写出y与x的函数关系式；
（3）当点F在线段BC上移动时，△AFG能否成为等腰三角形？如果能，请求出线段BF长；如果不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质，可得AB=AD，再根据已知和同角的余角相等得出可得出∠BAF=∠EAD，从而证明出△BAF≌△EAD，则BF=DE．再根据AD∥BC，推出 $\frac{DG}{FC}=\frac{BF}{EC}$，化为乘积式即可；
（2）由（1）可知△BAF≌△EAD，则AF=AE，所△AEF为等腰直角三角形，在Rt△ABF中，由勾股定理求得AF²=x²+1，然后由三角形的面积公式列出y与x之间的函数关系式即可；
（3）设BF=x，则FC=1-x，EC=1+x，由AF=FG，则∠FAG=∠FGA，再根据AD∥BC，推出△ABF∽△ECF．则 $\frac{BF}{AB}$=$\frac{FC}{EC}$，即 $\frac{x}{1}=\frac{1-x}{1+x}$．从而可求出x，舍去负根，从而求出BF的长．

解答 解：（1）证明：∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠ABC=∠ADE=90°，∠BAD=90°．
又∵AE⊥AF，
∴∠EAF=90°．
∴∠BAD=∠EAF，即∠BAF+∠FAD=∠EAD+∠DAF
∴∠BAF=∠EAD．
在△BAF和△EAD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EAD=∠BAF}\\{AD=AB}\\{∠ADE=∠ABF}\end{array}\right.$，
∴△BAF≌△EAD．
∴BF=DE．
∵AD∥BC，
∴$\frac{DG}{FC}=\frac{ED}{EC}$．
∴$\frac{DG}{FC}=\frac{BF}{EC}$．
∴BF•FC=DG•EC．
（2）∵△BAF≌△EAD，
∴AF=AE．
∵在Rt△ABF中，AF²=AB²+BF²，
∴AF²=1+x²．
∴y=$\frac{1}{2}AE•AF$=$\frac{1}{2}A{F}^{2}$=$\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{1}{2}$．
∴y与x之间的函数关系式为y=$\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{1}{2}$．
（3）存在．
理由：设BF=x，则FC=1-x，EC=1+x，
若AF=FG，则∠FAG=∠FGA
∵AD∥BC，
∴∠BFA=∠FAG，∠CFE=∠FGA．
∴∠BFA=∠CFE．
又∠ABF=∠ECF=90°，
∴△ABF∽△ECF．
∴$\frac{BF}{AB}=\frac{FC}{EC}$，即：$\frac{x}{1}=\frac{1-x}{1+x}$．
∴x²+2x-1=0．
解得：x₁=$\sqrt{2}$-1，选x₂=$-\sqrt{2}-1$（舍去）．
∴BF=$\sqrt{2}-1$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及正方形的性质、平行线分线段成比例定理．是中考压轴题，难度较大，证得△BAF≌△EAD是解题的关键．