Question

已知：在⊙O中，弦AB=2，CD=1，AD⊥BD。
（1）如图（1），直线AD，BC相交于点E，求∠E的度数；
（2）如果点C，D在⊙O上运动，且保持弦CD的长度不变，那么，直线AD，BC相交所成锐角的大小是否改变？试就以下三种情况进行探究，并说明理由（根据需要可分别在图Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ中补全图形）。
①如图Ⅰ，弦AB与弦CD交于点F；
②如图Ⅱ，弦AB与弦CD不相交；
③如图Ⅲ，点C与点B重合。

Answer 1

解：（1）连结OD，OC， ∵AD⊥BD， ∴弦AB是⊙O的直径， ∴OD=OC==1=CD， ∴△DOC是等边三角形， ∴∠DOC=60°， ∴∠DBC=30°， ∵AD⊥BD， ∴∠EDB=90°， ∴ 在Rt△BD E中，∠E=90°-∠DBC=90°-30°=60°；

（2）① 如图Ⅰ，连结OD，OC，由（1）知： ∴∠DOC=60°， ∵∠CDB=∠BOC，∠DCB=∠DOB， 而∠DBE=∠CDB+∠DCB， ∴∠DBE=∠BOC+∠DOB=∠DOC=30°， ∵AD⊥BD， ∴∠EDB=90°， ∴在Rt△BDE中， ∠E=90°-∠DBC=90°-30°=60°， ② 如图Ⅱ，连结OD，OC， 由（1）知：∠DOC=60°， ∴∠DBC=30°， ∵AD⊥BD， ∴∠ADB=90°， ∴ 在Rt△BD E中，∠BED=90°-∠DBC=90°-30°=60°， ③ 如图Ⅲ，当点C与点B重合时，直线BE与⊙O只有一个公共点， ∴ EB为⊙O的切线， ∴∠ABE=90°， ∵AD⊥BD， ∴∠ADB=90°， 又∵点C与点B重合， ∴DB=CD=1， 在Rt△ABD中， ∵， ∴∠A=30°， ∴在Rt△BD E中，∠E=90°-∠A=90°-30°=60°， 综上所述：如果C、D点在⊙O上运动，且保持弦CD的长度不变，那么直线AD、BC相交所成锐角的大小不会改变。