Question

2．进制也就是进位制，是人们利用符号进行计数的科学方法．对于任何一种进制X进制，就表示某一位置上的数运算时逢X进一位，如十进制数123=1×10²+2×10¹+3×10⁰，记作123_（10）； 七进制123=1×7²+2×7¹+3×7⁰，记作123_（7）．各进制之间可进行转化，如：将七进制转化为十进制：123_（7）=1×7²+2×7+3×7⁰=66，即123_（7）=66_（10），将十进制转化为七进制：（因为7²＜66＜7³，所以做除法从7²开始）66÷7²=1…17，17÷7¹=2…3，即66_（10）=123_（7）
（1）根据以上信息，若将八进制转化为十进制：15_（8）=1×8¹+5×8⁰=13，即15_（8）=13_（10）；若将十进制转化为九进制：98÷9²=1…17，17÷9¹=1…8，即98_（10）=118_（9）
（2）若将一个十进制两位数转换成九进制和八进制数后，得到一个九进制两位数和一个八进制两位数，首位分别2，3，个位分别为x，y．
①若x=7，则y=1．
②请求出满足上述条件的所有十进制两位数．

Answer 1

分析 （1）根据15_（8）=1×8¹+5×8⁰=13，即可得出八进制的15转化成十进制的数为13；根据98÷9²=1…17，17÷9¹=1…8，即可得出十进制的98转化成九进制的数为118；
（2）①算出当x=7时，十进制两位数的值，再将其转换成八进制的两位数，即可得出y值；
②将九进制的两位数与八进制的两位数均转换成十进制两位数，令其相等即可得出x、y之间的关系，根据x≤8即可得出x的值，套入数据即可得出结论．

解答 解：（1）∵15_（8）=1×8¹+5×8⁰=13，
∴15_（8）=13_（10）；
∵98÷9²=1…17，17÷9¹=1…8，
∴98_（10）=118_（9）．
故答案为：13；118．
（2）①2x_（9）=2×9+x=25，
25÷8¹=3…1，
∴y=1．
故答案为：1．
②由题意得：九进制两位数和八进制两位数分别是2x和3y，
则2×9+x=3×8+y，
∴x=6+y，
∵x≤8，
∴x=6、7、8．
则九进制数分别是26、27、28．
∴十进制两位数分别是24、25、26．

点评 本题考查了二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）弄明白各进制之间的转换；（2）①求出十进制两位数的值；②找出x、y之间的关系式．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，能够熟练将各进制之间的数进行转换是关键．