Question

12．如图，BC⊥CA于点C，DC⊥CE点C，∠ACE=∠DCB，BC=CA，DC=CE，直线BD与AE交于点F，交AC于点G，连接CF．
（1）求证：△ACE≌△BCD；（2）求证：BF⊥AE；
（3）请判断：∠CFE=∠CAB，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据SAS即可证明．
（2）由△BCD≌△ACE，推出∠CBD=∠CAE，由∠BGC=∠AGE，即可推出∠AFB=∠ACB=90°．
（3）结论：∠CFE=∠CAB，过C作CH⊥AE于H，CI⊥BF于I，由△BCD≌△ACE，推出AE=BD，S_△ACE=S_△BCD，推出CH=CI，推出CF平分∠BFH，
推出，∠CFE=45°，由△ABC是等腰直角三角形，推出∠CAB=45°，即可证明．

解答 证明：（1）在△BCD与△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCD=∠ACE}\\{DC=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△ACE；

（2）∵△BCD≌△ACE，
∴∠CBD=∠CAE，
∵∠BGC=∠AGE，
∴∠AFB=∠ACB=90°，
∴BF⊥AE；            

（3）结论：∠CFE=∠CAB，
理由：过C作CH⊥AE于H，CI⊥BF于I，

∵△BCD≌△ACE，
∴AE=BD，S_△ACE=S_△BCD，
∴CH=CI，
∴CF平分∠BFH，
∵BF⊥AE，
∴∠BFH=90°，∠CFE=45°，
∵BC⊥CA，BC=CA，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAB=45°，
∴∠CFE=∠CAB．
故答案为=．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．