Question

如图：设P是边长为12的正△ABC内一点，过P分别作三条边BC、CA、AB的垂线，垂足分别为D、E、F．已知PD：PE：PF=1：2：3．那么，四边形BDPF的面积是

 

．

Answer 1

考点：面积及等积变换

专题：

分析：首先连接AP，BP，CP，由S_△ABP+S_△APC+S_△BPC=

1

2

（PD×12+PE×12+PF×12）=S_△ABC与PD：PE：PF=1：2：3，即可求得PD与PF的长，然后再作FG⊥BC于G，PH∥BC，交FG于H，易求得∠FPH=30°，则可求得FH，FG，GD的长，则可求得四边形BDPF的面积．

解答：解：连接AP，BP，CP，作FG⊥BC于G，PH∥BC，交FG于H，
∵PD，PE，PF分别垂直于BC，AC，AB，
∴S_△ABP+S_△APC+S_△BPC=

1

2

（PD×12+PE×12+PF×12）=S_△ABC=36

3

，
又∵PD：PE：PF=1：2：3，
∴PD=

3

，PF=3

3

，
∵∠FPH=30°，
∴FH=

3 3

2

，FG=

5 3

2

，GD=HP=

9

2

，
又∵BG=

5

2

，
∴S_{四边形BDPF}=S_△BFG+S_梯形FGDP=

1

2

FG•BG+

1

2

（FG+PD）•GD=11

3

．
故答案为：11

3

．

点评：此题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质以及三角形面积问题等知识．此题综合性较强，解题是要注意数形结合思想的应用．