Question

二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示．Q（n，2）是图象上的一点，且AQ⊥BQ．则a的值为

-

1

2

．

Answer 1

分析：首先设ax²+bx+c=0的两根分别为x₁与x₂，根据一元二次方程根与系数的关系，即可得x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

，由AQ⊥BQ，根据勾股定理可得（x₁-n）²+4+（x₂-n）²+4=（x₁-x₂）²，则可得an²+bn+c=-4a，又由Q（n，2）是图象上的一点，可得an²+bn+c=2，继而可求得a的值．

解答：解：设ax²+bx+c=0的两根分别为x₁与x₂．
∴x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

，
∵AQ⊥BQ，
∴AQ²+BQ²=AB²．
∴（x₁-n）²+4+（x₂-n）²+4=（x₁-x₂）²，
化简得：n²-n（x₁+x₂）+4+x₁x₂=0．
∴n²+

b

a

n+4+

c

a

=0，
∴an²+bn+c=-4a．
∵（n，2）是图象上的一点，
∴an²+bn+c=2，
∴-4a=2，
∴a=-

1

2

．
故答案为：-

1

2

．

点评：此题考查了二次函数的性质、一元二次方程根与系数的关系以及勾股定理等知识．此题综合较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用．