Question

17．操作与探究
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，点O是AB的中点，将一块直角三角板ODE的直角顶点绕点0旋转，边OD、OE分别与△ABC的边BC、AC交于点N、M
（1）如图一，当三角板的一条直角边与AB重合时，点M与点A也重合，?求此时CN的长；?写出AC²、CN²、BN²满足的数量关系：
（2）当三角板旋转到如图二所示的位置时，即点M在AC上（不与A、C重合），?猜想图二中AM²、BN²、MN²满足的数量关系：?说明你得出此结论的理由．
（3）若在三角板旋转的过程中满足CM=CN，请你利用图三，求出此时BN的长．

Answer 1

分析 （1）先判断出△BON∽△BCM，得出$\frac{OB}{BC}=\frac{BN}{BM}$，代值即可求出CN，最后分别求出AC²、CN²、BN²，再得出结论；
（2）先判断出，△AOM≌△BOE，得出EN=MN，△BEN为直角三角形，再用勾股定理得出结论，最后代换即可得出结论；
（3）由CM=CN，用CN表示BN，AM，MN，借助（2）得出的结论即可．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，
∴BC=4，
∵点O是AB的中点，
∴OB=$\frac{1}{2}$BM=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$，
当三角板的一条直角边与AB重合时，点M与点A也重合，
∴BM=AB=5，∠BON=90°，
∵∠C=90°，
∴∠BON=∠C=90°，
∵∠B=∠B，
∴△BON∽△BCM，
∴$\frac{OB}{BC}=\frac{BN}{BM}$，
∴$\frac{\frac{5}{2}}{4}=\frac{BN}{5}$，
∴BN=$\frac{25}{8}$，
∴CN=BC-BN=4-$\frac{25}{8}$=$\frac{7}{8}$，
∵AC²=9，CN²=$\frac{49}{64}$，BN²=$\frac{625}{64}$，
∴AC²+CN²=9+$\frac{49}{64}$=$\frac{625}{64}$=BN²，
即：CN=$\frac{7}{8}$，AC²+CN²=BN²；
（2）AM²+BN²=MN²，
理由：如图2，延长MO至E使OE=OM，
在△AOM和△BOE中，$\left\{\begin{array}{l}{OB=OA}\\{∠BOE=∠AOM}\\{OE=OM}\end{array}\right.$，
∴△AOM≌△BOE，
∴EN=MN，BE=AM，∠OBE=∠OAM，
∴BE∥AM，
∵∠C=90°，
∴∠NBE=90°，
根据勾股定理得，BN²+BE²=NE²，
∵∠EOD=90°，EN=MN，
∴MN=NE，
∴AM²+BN²=MN²，
（3）由（1）知，BC=4，AC=3，
∴BN=4-CN，AM=3-CM，
∵CN=CM，
∴AM=3-CN，
由（2）知，AM²+BN²=MN²，
∴（3-CN）²+（4-CN）²=MN²
在Rt△MCN中，CM=CN，
∴MM²=2CN²，
∴（3-CN）²+（4-CN）²=2CN²，
∴CN=$\frac{25}{14}$，
∴BN=4-CN=$\frac{31}{14}$．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了直角三角形的性质，等腰直角三角形，旋转的性质，勾股定理，解本题的关键是构造出全等三角形，是一道难度不大的中考常考题．