Question

已知：如图，直径为10的⊙M交x轴于A、B两点，圆心M的坐标为(3，0)，⊙M与y轴的负半轴交于点C，抛物线y＝x²＋bx＋c经过点C，且与x轴交于D、E两点，A点在此抛物线的对称轴上．

(1)求此抛物线的解析式；

(2)在x轴的正半轴上是否存在点P，使以点P、O、C为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，说明理由；

(3)判断过D、G两点的直线与⊙M的位置关系，并说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)(4分)如图，连结MC， 　　∵⊙M的直径为10 　　∴MC＝5， 　　在Rt△MOC中，MC＝5，OM＝3 　　OC＝＝4 　　∴C(0，－4) 　　而抛物线y＝x2＋bx＋c经过点C 　　∴c＝－4 　　又∵抛物线的对称轴经过点A(－2，0) 　　 　　∴抛物线的解析式为 　　 　　(2) 　　(3分)答：存在． 　　设点P的坐标为(xP，0) 　　∵点A的坐标为A(－2，0) 　　由△COP∽△AOC 　　 　　即：xP＝8 　　∴点P1的坐标为(8，0) 　　由△POC∽△AOC 　　有 　　OP＝AO＝2 　　∴点P2的坐标为(2，0) 　　∴点P的坐标为(8，0)或(2，0)． 　　(3)(5分) 　　解法一：答：过C、D两点的直线与⊙M相切． 　　过C、D两点作直线CD，连接CM 　　∵抛物线y＝x2＋x－4与x轴交于D、E两点， 　　∴令x2＋x－4＝0 　　解得：x1＝，x2＝． 　　∴点D的坐标为(，0) 　　 　　∴CD2＋CM2＝DM2 　　即：△CMD是直角三角形 　　∴∠DCM＝90°，由MC是⊙M的半径知： 　　过C、D两点的直线与⊙M相切． 　　解法二：答：过C、D两点的直线与⊙M相切． 　　过C、D两点作直线CD，连接CM 　　∵抛物线y＝x2＋x－4与x轴交于D、E两点， 　　令x2＋x－4＝0 　　解得：x1＝，x2＝ 　　∴点D的坐标为(，0)，点E的坐标为(，0) 　　在△DOC和△COM中 　　∠DOC＝∠COM＝90° 　　 　　∴△DOC∽△COM(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似) 　　∴∠MCO＝∠ODC 　　而∠ODC＋∠OCD＝90° 　　∴∠MCO＋∠OCD＝90° 　　∴∠DCM＝90°，由MC是⊙M的半径知：过C、D两点的直线与⊙M相切．