Question

7．已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，且AC=BD，顺次连接EF、FG、GH、HE，得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）．则四边形EFGH的形状是菱形．

Answer 1

分析 根据三角形的中位线定理可得，HG平行且等于AC的一半，EF平行且等于AC的一半，根据等量代换和平行于同一条直线的两直线平行，得到HG和EF平行且相等，所以EFGH为平行四边形，又EH等于BD的一半且AC=BD，所以得到所证四边形的邻边EH与HG相等，所以四边形EFGH为菱形．

解答 证明：∵E，F，G，H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，
∴在△ADC中，HG为△ADC的中位线，所以HG∥AC且HG=$\frac{1}{2}$AC；
同理EF∥AC且EF=$\frac{1}{2}$AC，
同理可得EH=$\frac{1}{2}$BD，
则HG∥EF且HG=EF，
∴四边形EFGH为平行四边形，又AC=BD，所以EF=EH，
∴四边形EFGH为菱形．
故答案为：菱形．

点评 此题考查了菱形的判定、三角形的中位线定理，平行四边形的判断及菱形的判定，正确应菱形的判定方法是解题关键．