Question

8．在直角坐标系xOy中，A（4，3），B（0，1），则∠BAO的正弦值为$\frac{2\sqrt{5}}{25}$．

Answer 1

分析 如图，作BE⊥OA于E．求出OA、BE的解析式，解方程组求出点E坐标即可解决问题．

解答 解：如图，作BE⊥OA于E．

∵A（4，3），
∴直线OA的解析式为y=$\frac{3}{4}$x，
∵BE⊥OA，
∴直线BE的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}x}\\{y=-\frac{4}{3}x+1}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{12}{25}}\\{y=\frac{9}{25}}\end{array}\right.$，
∴E（$\frac{12}{25}$，$\frac{9}{25}$）．
∴AB=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，BE=$\sqrt{（\frac{12}{25}）^{2}+（\frac{9}{25}-1）^{2}}$=$\frac{4}{5}$，
∴sin∠BAO=$\frac{BE}{AB}$=$\frac{2\sqrt{5}}{25}$．
故答案为$\frac{2\sqrt{5}}{25}$．

点评 本题考查坐标与图形的性质、一次函数的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加辅助线构造直角三角形解决问题，学会利用方程组求两条直线的交点坐标，属于中考常考题型．