Question

15．若一条直线将一个平面图形分成面积相等的两部分，则该直线被平面图形截得的线段叫做该图形的面径．例如圆的直径就是它的面径．

（1）已知等边三角形的边长为2，则它的面径长可以是$\sqrt{2}，\sqrt{3}$（写出2个）；
（2）如图1，在梯形ABCD中，AB∥DC，M是AD的中点，射线CM交射线BA于点E．取EB的中点F，连接CF．求证：CF是梯形ABCD的面径；
（3）如图2，在Rt△ABC中，∠ABC=Rt∠，D，E分别是线段BC，AC上的点，EF是四边形ABDE的一条面径．若AB=CB=CE=2，∠BED=45°，求DF．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质，最短的面径平行于三角形一边，最长的面径为等边三角形的高，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出最短面径，根据等边三角形的性质求出高线，然后写出即可．
（2）根据EB的中点F，所以S_△CBF=S_△CEF，由AB∥DC，M是AD的中点，证明△CDM≌△EAM，所以S_{四边形AFCD}=S_△CEF，所以S_{四边形AFCD}=S_△CBF，
可得CF是梯形ABCD的面径．
（3）作AG∥EB，交直线BC于点G，连接GE，GE交AB于点H，根据AG∥EB，得到S_△AGE=S_△AGB，进而得到S_△AEH=S_△GBH，所以S_{四边形ABEF}=S_△EGF，又由EF是四边形ABDE的一条面径，F是GD的中点，由AB=CB=CE=2，∠BED=45°，证明△CDE≌△AEB，所以CD=AE=$2\sqrt{2}$-2，又由条件可推得GC=AC=2$\sqrt{2}$，所以DF=1．

解答 解：（1）如图3，EF∥BC时，EF为最短面径，

此时，$（\frac{EF}{BC}）^{2}=\frac{1}{2}$，
即$\frac{EF}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得EF=$\sqrt{2}$，
等边三角形的高AD是最长的面径，
AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×2=$\sqrt{3}$，
所以，它的面径长可以是$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$（或介于$\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$之间的任意两个实数）．
故答案为：$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$（或介于$\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$之间的任意两个实数）．
（2）∵EB的中点F，
∴S_△CBF=S_△CEF，
∵AB∥DC，
∴∠E=∠DCM，
∵M是AD的中点，
∴DM=AM，
在△CDM和△EAM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠E=∠DCM}\\{∠EMA=∠CMD}\\{AM=DM}\end{array}\right.$ 
∴△CDM≌△EAM，
∴S_{四边形AFCD}=S_△CEF，
∴S_{四边形AFCD}=S_△CBF，
∴CF是梯形ABCD的面径．   
（3）如图4，作AG∥EB，交直线BC于点G，连接GE，GE交AB于点H，

∵AG∥EB，
∴S_△AGE=S_△AGB，
∴S_△AEH=S_△GBH，
∴S_{四边形ABEF}=S_△EGF，
又∵EF是四边形ABDE的一条面径，
∴F是GD的中点，
由AB=CB=CE=2，∠BED=45°，
在△CDE和△AEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠C}\\{∠ABE=∠CED}\\{AB=CE}\end{array}\right.$
∴△CDE≌△AEB，
∴CD=AE=$2\sqrt{2}$-2，
又由条件可推得GC=AC=2$\sqrt{2}$，
∴DF=1．

点评 本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理，读懂题意，弄明白面径的定义，并准确判断出等边三角形的最短与最长的面径是解题的关键．