题目内容

20．在一次空间与图形的学习中，小明遇到了下面的问题：如图1，若AB∥CD，点P在AB、CD内部，探究∠B，∠D，∠BPD的关系．小明只完成了（1）的部分证明，请你根据学习《观察 猜想与证明》的学习经验继续完成（1）的证明并在括号内填入适当的理论依据同时完成（2）-（3）．
（1）过点P作PE∥AB．
∵PE∥AB，AB∥CD
∴PE∥CD
∴∠D=∠DPE
又∵PE∥AB
∴∠B=∠BPE
∴∠BPD=∠B+∠D．
（2）如图2，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，∠B，∠D，∠BPD的关系是否发生变化？若发生变化请写出它们的关系，并证明；若没有发生变化，请说明理由．
（3）如图3，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，则∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之间有何数量关系？（直接写出结果）

分析 （1）首先过点P作PE∥AB，根据平行线的性质，可得∠1=∠B，∠2=∠D，从而证得∠BPD=∠B+∠D；
（2）由AB∥CD，根据平行线的性质，易得∠BOD=∠B，又由三角形外角的性质可得∠BOD=∠D+∠P，从而得到∠BPD=∠B-∠D；
（3）首先连接QP，并延长到E，利用三角形外角的性质，可证得∠BPD=∠1+∠2=∠BQP+∠B+∠DQP+∠D=∠B+∠D+∠BQD．

解答 解：（1）如图1，过点P作PE∥AB．
∵PE∥AB，AB∥CD，
∴PE∥CD （平行于同一条直线的两条直线平行），
又∵PE∥AB，
∴∠B=∠BPE，
∠D=∠DPE （ 两直线平行内错角相等 ），
∴∠BPD=∠B+∠D．  

（2）发生变化，应是∠BPD=∠B-∠D．
证明：如图2，
∵AB∥CD
∴∠B=∠BOD，
∵∠BOD=∠P+∠D，
∴∠BPD=∠B-∠D；
（3）如图3，连接QP，并延长到E，
∵∠1=∠B+∠BQP，∠2=∠D+∠DQP，
∴∠BPD=∠1+∠2=∠BQP+∠B+∠DQP+∠D=∠B+∠D+∠BQD．

点评 此题考查了平行线的性质以及三角形外角的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

练习册系列答案
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（1）令∠ABC=90°．
①如图1，当点P与点C重合时，求证：△BOD≌△POE；
②如图2，当点P在点C的左边时，求$\frac{BF}{PE}$的值；
③猜想：当点P在点C的右边时，$\frac{BF}{PE}$的值又是多少？
请直接写出．
（2）设点P在点C的右边，请在图3（∠ABC＞90°）或图4（∠ABC＜90°）中继续探究$\frac{BF}{PE}$的值（用含α的式子表示），并说明理由．
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小刚把想法和老师交流了，得到了老师的肯定和赞扬，请你回答：小刚这样做的依据是角平分线上的点到角的两边的距离相等．
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