对于两个已知图形G1.G2.在G1上任取一点P.在G2上任取一点Q.当线段PQ的长度最小时.我们称这个最小的长度为图形G1.G2的“密距 ,当线段PQ的长度最大值时.我们称这个最大的长度为图形G1.G2的“疏距．请你在学习.理解上述定义的基础上.解决下面的问题,在平面直角坐标系xOy中.点A的坐标为.点B的坐标为(3.4).矩形ABCD的对称中心为点O．(1)线段AD� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．对于两个已知图形G₁、G₂，在G₁上任取一点P，在G₂上任取一点Q，当线段PQ的长度最小时，我们称这个最小的长度为图形G₁、G₂的“密距”；当线段PQ的长度最大值时，我们称这个最大的长度为图形G₁、G₂的“疏距”．

请你在学习、理解上述定义的基础上，解决下面的问题；
在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（-3，4），点B的坐标为（3，4），矩形ABCD的对称中心为点O．
（1）线段AD和BC的“密距”是6，“疏距”是10；
（2）设直线y=$\frac{3}{4}$x+b（b＞0）与x轴、y轴分别交于点E、F，若线段EF与矩形ABCD的“密距”是1，求它们的“疏距”；
（3）平面直角坐标系xOy中有一个四边形KLMN，将矩形ABCD绕点O旋转一周，在旋转过程中，它与四边形KLMN的“疏距”的最大值为7，
①旋转过程中，它与四边形KLMN的“密距”的取值范围是1≤密距≤3；
②求四边形KLMN的面积的最大值．

分析（1）线段AD与BC的“密距”是AB或DC的长度；
（2）先求得直线OA的解析式，可知直线EF与OA垂直，故点C到直线EF的距离为“疏距”；
（3）①如图当K在BD上时，密距有最小值，当OK⊥AD时，密距有最大值；
②当四边形KLMN为正方形时面积有最大值．

解答解：（1）如图：

由垂线的性质可知：线段AD与BC的“密距”是AB或DC的长度，故“密距”是6．
在Rt△ADC中，AC=$\sqrt{A{D}^{2}+D{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，“疏距”是10；
（2）如下图：

设直线OA的解析式为y=kx，
将x=-3，y=4代入函数的解析式得；k=-$\frac{4}{3}$，
∵直线EF的解析式为y=$\frac{3}{4}x+b$，
∴直线OA和EF相互垂直．
∵EF与矩形ABCD的“密距”是1，
∴点C到EF的距离最长=10+1=11，即“疏距”=11．
（3）如图：

①当K在BD上时，矩形ABCD与四边形KLMN的“疏距”为KB=7，
∴KD=BD-BK=10-7=3．故最大密距=3
如下图：

当OK⊥AD时，矩形ABCD与四边形KLMN的“密距”有最小值，
∵矩形的宽为6，所以密距的最小值=6÷2-2=1．
故密距的范围为：1≤密距≤3．
②如下图：

当四边形KLMN为正方形，且各点到原点的距离为2时，四边形的KLMN的面积最大．
S_{四边形KLMN}=$\frac{1}{2}KN•ML$=$\frac{1}{2}×4×4$=8．

点评本题主要考查的是一次函数与两点间的距离和点到直线的距离的应用，理解定义，根据题意画出图形是解题的关键．

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