Question

17．给出如下规定：两个图形G₁和G₂，点P为G₁上任一点，点Q为G₂上任一点，如果线段PQ的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形G₁和G₂之间的距离．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点．
（1）点A的坐标为A（1，0），则点（2，3）和射线OA之间的距离为3，点（-2，3）和射线OA之间的距离为$\sqrt{13}$；
（2）如果直线y=x和双曲线y=$\frac{k}{x}$之间的距离为$\sqrt{2}$，那么k=-1；（可在图1中进行研究）
（3）点E的坐标为（1，$\sqrt{3}$），将射线OE绕原点O逆时针旋转60°，得到射线OF，在坐标平面内所有和射线OE，OF之间的距离相等的点所组成的图形记为图形M．
①请在图2中画出图形M，并描述图形M的组成部分；（若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示）
②将射线OE，OF组成的图形记为图形W，抛物线y=x²-2与图形M的公共部分记为图形N，请直接写出图形W与图形N之间的距离．

Answer 1

分析 （1）只需根据新定义即可解决问题；
（2）过点O作直线y=x的垂线，与双曲线y=$\frac{k}{x}$交于点A、B，过点B作BH⊥x轴，如图1，根据新定义可得直线y=x和双曲线y=$\frac{k}{x}$之间的距离就是线段OB的长，如何只需求出点B的坐标，运用待定系数法就可求出k的值；
（3）①过点O分别作射线OE、OF的垂线OG、OH，如图2，根据新定义可得图形M为y轴的正半轴、∠GOH的边及其内部所有的点；
②设抛物线y=x²-2与射线OG的交点为N，如图3，图形N上点的坐标可设为（x，x²-2），根据新定义可得图形W与图形N之间的距离为$\sqrt{{x}^{2}+（{x}^{2}-2）^{2}}$的最小值．可通过求出点N的坐标得到x²的范围，然后利用二次函数的增减性求出x²+（x²-2）²=（x²-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{7}{4}$的最小值，就可解决问题．

解答 解：（1）点（2，3）和射线OA之间的距离为3，
点（-2，3）和射线OA之间的距离为$\sqrt{（-2）^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
故答案分别为：3、$\sqrt{13}$；

（2）∵直线y=x和双曲线y=$\frac{k}{x}$之间的距离为$\sqrt{2}$，
∴k＜0（否则直线y=x和双曲线y=$\frac{k}{x}$相交，它们之间的距离为0）．
过点O作直线y=x的垂线，与双曲线y=$\frac{k}{x}$交于点A、B，过点B作BH⊥x轴，如图1，

在Rt△OHB中，∠HOB=∠HBO=45°，OB=$\sqrt{2}$，
则有OH=BH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OB=1，
∴点B的坐标为（1，-1），
∴k=1×（-1）=-1，
故答案为：-1；

（3）①过点O分别作射线OE、OF的垂线OG、OH，如图2，

则图形M为：y轴的正半轴、∠GOH的边及其内部所有的点（图2中的阴影部分）；
②图形W与图形N之间的距离为$\frac{4}{3}$．

提示：设抛物线y=x²-2与射线OG的交点为N，如图3，
图形N上点的坐标可设为（x，x²-2），
则图形W与图形N之间的距离为$\sqrt{{x}^{2}+（{x}^{2}-2）^{2}}$的最小值．
易求出点N的坐标为（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{2}{3}$），从而有0≤x²≤$\frac{4}{3}$，
由此可得x²+（x²-2）²=（x²-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{7}{4}$的最小值为（$\frac{4}{3}$-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{7}{4}$=$\frac{16}{9}$，
则图形W与图形N之间的距离为$\sqrt{\frac{16}{9}}$=$\frac{4}{3}$．

点评 本题属于新定义型，考查了用待定系数法求反比例函数的解析式、抛物线的增减性、勾股定理、求直线与抛物线的交点等知识，解决本题的关键是对新定义的理解．