Question

6．【几何模型】
如图（1），△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r₁，r₂，腰上的高为h，连接AP，则S_△ABP+S_△ACP=S_△ABC．即：$\frac{1}{2}$AB•r₁+$\frac{1}{2}$AC•r₂=$\frac{1}{2}$AB•h，∴r₁+r₂=h（定值）．

【模型应用（1）】：
如图（2），在边长为3的正方形ABCD中，点E为对角线BD上的一点，且BE=BC，F为CE上一点，FM⊥BC于M，FN⊥BD于N，试利用上述结论求出FM+FN的长．
【模型应用（2）】：
如图（3），如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r₁，r₂，r₃，等边△ABC的高为h，试证明r₁+r₂+r₃=h（定值）．
【模型应用（3）】：
若正n边形A₁、A₂…A_n内部任意一点P到各边的距离为r₁，r₂，…，r_n，请问是r₁+r₂+…+r_n是否为定值？如果是，请直接写出这个定值．如果不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）已知BE=BC，采用面积分割法，S_△BFE+S_△BCF=S_△BEC得出三角形高的数量关系．
（2）连接PA，PB，PC，仿照面积的割补法，得出S_△PBC+S_△PAC+S_△PAB=S_△ABC，而这几个三角形的底相等，故可得出高的关系．
（3）问题转化为正n边形时，根据正n边形计算面积的方法，从中心向各顶点连线，可得出n个全等的等腰三角形，用边长为底，边心距为高，可求正n边形的面积，然后由P点向正n多边形，又可把正n边形分割成n过三角形，以边长为底，以r₁r₂…r_n为高表示面积，列出面积的等式，可求证r₁+r₂+…+r_n为定值．

解答 模型应用（1）：
解：过E点作EH⊥BC，垂足为H，连接BF，如答图（1），

∵BE=BC=3，∠EBH=45°，
∴EH=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∵S_△BFE+S_△BCF=S_△BEC，
∴$\frac{1}{2}$BE×FN+$\frac{1}{2}$BC×FM=$\frac{1}{2}$BC×EH，
∵BE=BC，
∴FN+FM=EH=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．        
模型应用（2）：
证明：连接PA，PB，PC，如答图（2），

∵S_△PBC+S_△PAC+S_△PAB=S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$BC•r₁+$\frac{1}{2}$AC•r₂+$\frac{1}{2}$AB•r₃=$\frac{1}{2}$BC•h，
∵BC=AC=AB，
∴r₁+r₂+r₃=h．                        
模型应用（3）：
解：r₁+r₂+…+r_n是定值：
r₁+r₂+…+r_n=$nRcos{（{\frac{180}{n}}）°}$．           …
理由参考如下（不要求学生写出）：
如答图（3），

设AB为正多边形的任意一长边为a，其外接圆的半径为R，
∴$\frac{1}{2}$a（r₁+r₂+…+r_n）=nS_△AOB，
又∵S_△AOB=$\frac{1}{2}$ah，
∴r₁+r₂+r₃+…+r_n=nh
∵Rt△BOC中，∠BOC=${（{\frac{180}{n}}）°}$，
∴cos${（{\frac{180}{n}}）°}$=$\frac{h}{R}$，
∴h=Rcos=${（{\frac{180}{n}}）°}$，
∴r₁+r₂+r₃+…+r_n=$nRcos{（{\frac{180}{n}}）°}$（定值）．

点评 本题主要利用面积分割法及面积与等积变换，求线段之间的关系，充分体现了面积法解题的作用，题目中涉及到的一题多解也是中考中常见的考点．