Question

6．如图，在平面直角坐标中，一直线与x轴相交于点A（8，0），与y轴交于B（0，6），P是线段AB上一动点（不与A，B重合），过P分别作出x轴和y轴的垂线，垂足为M，N．
（1）求直线AB的表达式．
（2）设矩形PMON的面积为S₁，求S₁取最大值时P的坐标．
（3）在（2）的情形下，将矩形PMQ（O）N沿x轴的正方向以每秒钟1个单位的速度平移（Q到达A处为止），设矩形PMQN被直线AB截得的图形面积为S₂，求S₂与运动时间t（秒）这间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设直线AB的解析式为y=kx+b，把点A（8，0），B（0，6）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{8k+b=0}\\{b=6}\end{array}\right.$，求出k，b，即可解答；
（2）设点P的横坐标为m（0＜m＜8），因为点P在直线ABy=-$\frac{3}{4}x+6$上，得到点P（m，$-\frac{3}{4}$m+6），所以PN=m，PM=-$\frac{3}{4}$m+6，进而得到S₁=PN•PM=$m•（-\frac{3}{4}m+6）$=$-\frac{3}{4}{m}^{2}+6m$=$-\frac{3}{4}（m-4）^{2}+12$，当m=4时，S₁取最大值，即可确定P点的坐标．
（3）分两种情况进行解答：①当0≤t＜4时，如图1，此时矩形PMQN被直线AB截得的图形是五边形ENQMF；②当4≤t≤8时，如图2，此时矩形PMQN被直线AB截得的图形是Rt△AQH，结合图形，表示出面积，即可得到函数解析式．

解答 解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
把点A（8，0），B（0，6）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{8k+b=0}\\{b=6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴y=-$\frac{3}{4}x+6$．
（2）设点P的横坐标为m（0＜m＜8），
∵点P在直线ABy=-$\frac{3}{4}x+6$上，
∴点P（m，$-\frac{3}{4}$m+6），
∴PN=m，PM=-$\frac{3}{4}$m+6，
∴S₁=PN•PM=$m•（-\frac{3}{4}m+6）$=$-\frac{3}{4}{m}^{2}+6m$=$-\frac{3}{4}（m-4）^{2}+12$，
∵$-\frac{3}{4}＜0$，
∴当m=4时，S₁取最大值，
∴P（4，3）．
（3）①当0≤t＜4时，如图1，此时矩形PMQN被直线AB截得的图形是五边形ENQMF，

∵P（4，3）．
∴PN=QM=4，PM=NQ=3，
则PE=t，OM=4+t，
∴点F的横坐标为4+t，
∵点F在直线ABy=-$\frac{3}{4}x+6$上，
∴点F的坐标为[4+t，$-\frac{3}{4}（4+t）+6$]，
∴MF=$-\frac{3}{4}（4+t）+6$，
∴PF=PM-MF=3-[$-\frac{3}{4}（4+t）+6$]=$\frac{3}{4}t$，
∴${S}_{2}=3×4-\frac{1}{2}PE•PF$=12-$\frac{1}{2}•t•\frac{3}{4}t$=12-$\frac{3}{8}{t}^{2}$；
②当4≤t≤8时，如图2，此时矩形PMQN被直线AB截得的图形是Rt△AQH，

则OQ=t，AQ=8-t，
∴点H的横坐标为t，
∵点H在直线ABy=-$\frac{3}{4}x+6$上，
∴点H的坐标为（t，$-\frac{3}{4}t+6$），
∴HQ=$-\frac{3}{4}t+6$，
∴${S}_{2}=\frac{1}{2}•（8-t）•（-\frac{3}{4}t+6）$=$\frac{3}{8}{t}^{2}-6t+24$．
∴S₂与运动时间t（秒）这间的函数关系式为：
S₂=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{8}{t}^{2}+12（0≤t＜4）}\\{\frac{3}{8}{t}^{2}-6t+24（4≤t≤8）}\end{array}\right.$

点评 本题考查了求一次函数解析式、二次函数的性质以及动点函数图象，解决本题的关键是一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上所有点的坐标都满足该函数关系式，在（3）中注意分类讨论思想的应用与数形结合的应用．