学完“轴对称这一章后.老师布置了一道思考题:如图所示.点M.N分别在等边△ABC的BC.CA边上.且BM=CN.AM.BN交于点Q.求证:∠BQM=60°(1)请你完成这道思考题,后.同学在老师的启发下进行了反思．提出许多问题.如:①若将题中“BM=CN 与“∠BQM=60° 的位置交换.得到的命题仍是真命题吗?②若将题中的点M.N分别移动到BC.CA的延长线上.是否仍能得� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．

学完“轴对称”这一章后，老师布置了一道思考题：如图所示，点M、N分别在等边△ABC的BC、CA边上，且BM=CN，AM、BN交于点Q，求证：∠BQM=60°
（1）请你完成这道思考题；
（2）做完（1）后，同学在老师的启发下进行了反思．提出许多问题，如：
①若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换，得到的命题仍是真命题吗？
②若将题中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM=60°？
③若将题中的条件“点M、N分别在等边△ABC的BC、CA边上”改为“点M、N分别在正方形ABCD的BC、CD边上”，是否仍能得到∠BQM=60°？…
请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：
①是②是③否
并对②、③的判断选择一个画出图形，给出证明．

分析（1）只要证明△ABM≌△BCN（SAS），推出∠BAM=∠CBN，可得∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠MBQ+∠ABQ=60°；
（2）①是真命题，证明方法类似；
②是真命题．证明方法类似；
③是假命题，证明方法类似；

解答解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，
在△ABM和△BCN中，
∵BM=CN，∠ABM=∠BCN，AB=BC，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM=∠CBN，
∴∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠MBQ+∠ABQ=60°；

（2）①是；②是；③否；
①已知：∠BQM=60°，求证：BM=CN，
证明：∵∠BQM=∠ABM=60°，∠BMQ=∠AMB，
∴△BMQ∽△AMB，∴∠CBN=∠BAM，
在△ABM和△BCN中，
∵∠BAM=∠CBN，AB=BC，∠ABM=∠BCN，∴△ABM≌△BCN（ASA），
∴BM=CN；
②证明：如图，

在△ACM和△BAN中，
∵CM=AN，∠ACM=∠BAN=120°，AC=AB，∴△ACM≌△BAN（SAS），
∴∠AMC=∠BNA，∴∠NQA=∠NBC+∠BMQ=∠NBC+∠BNA=180°-60°=120°，
∴∠BQM=60°；
③证明：如图，

在Rt△ABM和Rt△BCN中，
∵BM=CN，AB=BC，
∴Rt△ABM≌Rt△BCN（HL），
∴∠AMB=∠BNC，
又∵∠NBM+∠BNC=90°，
∴∠QBM+∠QMB=90°，则∠BQM=90°．
故答案为：①是；②是；③否．