Question

如图，点D在△ABC的边上且与点B、C不重合，过点D作DE∥AC交AB于E，作DF∥AB交AC于F，已知BC=5，S_△ABC=S．
（1）求证：四边形AEDF是平行四边形；
（2）设BD=x，写出y=S_?AEDF关于x的函数解析式，并求出?AEDF的最大面积；
（3）若S_?AEDF=

2

5

S，求出BD的长．

Answer 1

分析：（1）根据两组对边平行的四边形是平行四边形即可证明；
（2）根据相似三角形的面积比是相似比的平方，分别表示出△BDE的面积和△CDF的面积，再进一步表示y关于x的函数关系式，根据函数求得其最大值；
（3）在（2）的基础上，把S_?AEDF=

2

5

S代入求解．

解答：证明：（1）∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形；

（2）∵DE∥AC，DF∥AB，
∴△BDE∽△BCA，△CDF∽△ABC．
∴

三角形BDE的面积

三角形ABC的面积

=(

BD

BC

)2，

三角形CDF的面积

三角形ABC的面积

=(

CD

BC

)2．
则三角形BDE的面积=

x2

25

S，三角形CDF的面积=

(5-x)2

25

S．
则y=S-

x2

25

S-

(5-x)2

25

S=（-

2

25

x2+

2

5

x）S，且y的最大值是

1

2

S；

（3）若S_?AEDF=

2

5

S，则（-

2

25

x2+

2

5

x）S=

2

5

S，
解得x=

5± 5

2

．
又x＜5，
则x=

5- 5

2

．

点评：此题考查了平行四边形的判定方法、相似三角形的判定和性质，能够根据二次函数探求函数的最值．