Question

9．如图，直线AB与x轴，y轴的交点为A，B两点，点A，B的纵坐标、横坐标如图所示．问题：
（1）求直线AB的解析式及△AOB的面积S_△AOB．
（2）当x满足什么条件时，y＞0；y=0；y＜0；0＜y＜2？
（3）在x轴上是否存在一点P，使S_△PAB=3？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．
（4）如图，在直线上有一点C，且x_C=0.4．求点C的坐标及S_△AOC．
（5）如图，直线AB上有一点D．且y_D=1.6．求点D的坐标．
（6）在（5）的情况下，求直线OD的解析式．
（7）在直线AB上是否存在一点E，使E到x轴的距离为1.5，若存在，给出点E的坐标，若不存在，说明理由．
（8）在直线AB上是否存在一点F，使F到y轴的距离为0.6，若存在，给出点F的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），将点A、B的坐标代入函数解析式列出关于k和b的方程组，通过解方程组求得它们的值；然后根据三角形的面积公式来求△AOB的面积；
（2）当直线在x轴上方时，y＞0；直线与x轴相交时，y=0；直线在x轴下方时，y＜0；
（3）先根据S_△PAB=3求出PB=3，再由B点坐标即可求出点P的坐标；
（4）把x_C=0.4代入直线AB的解析式，得到点C的坐标，再根据三角形的面积公式计算得出S_△AOC；
（5）把y_D=1.6代入直线AB的解析式，得到点D的坐标；
（6）利用待定系数法即可求出直线OD的解析式；
（7）在直线AB上的点E到x轴的距离为1.5时，|y|=1.5，把y=1.5与y=-1.5分别代入y=-$\frac{1}{2}$x+2，求出x的值，进而得到点E的坐标；
（8）在直线AB上的点F到y轴的距离为0.6时，|x|=0.6，把x=0.6与x=-0.6分别代入y=-$\frac{1}{2}$x+2，求出y的值，进而得到点F的坐标．

解答 解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），则
$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
则该直线的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x+2．
∵A（0，2）、B（4，0），
∴OA=2，OB=4，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$OA•OB=$\frac{1}{2}$×2×4=4，即△AOB的面积是4；

（2）当x＜4时，y＞0；当x=4时，y=0；当x＞4时，y＜0；

（3）∵S_△PAB=3，点P在x轴上，
∴$\frac{1}{2}$PB•OA=$\frac{1}{2}$PB×2=PB=3，
∵B（4，0），
∴P（1，0）或P（7，0）；

（4）∵y=-$\frac{1}{2}$x+2，
∴当x_C=0.4时，y=-$\frac{1}{2}$×0.4+2=1.8，
∴S_△AOC=$\frac{1}{2}$OA•x_C=$\frac{1}{2}$×2×0.4=0.4；

（5）∵y=-$\frac{1}{2}$x+2，
∴当y=1.6时，-$\frac{1}{2}$x+2=1.6，解得x=0.8，
∴点D的坐标为（0.8，1.6）；

（6）设直线OD的解析式为y=mx，
把D（0.8，1.6）代入，得1.6=0.8m，解得m=2，
则直线OD的解析式为y=2x；

（7）∵y=-$\frac{1}{2}$x+2，
∴在直线AB上的点E到x轴的距离为1.5时，|y|=1.5，
当y=1.5时，-$\frac{1}{2}$x+2=1.5，解得x=1；
当y=-1.5时，-$\frac{1}{2}$x+2=-1.5，解得x=7；
∴点E的坐标为（1，1.5）或（7，-1.5）；

（8）∵y=-$\frac{1}{2}$x+2，
∴在直线AB上的点F到y轴的距离为0.6时，|x|=0.6．
当x=0.6时，y=-$\frac{1}{2}$×0.6+2=1.7；
当x=-0.6时，y=-$\frac{1}{2}$×（-0.6）+2=2.3；
∴点F的坐标为（0.6，1.7）或（-0.6，2.3）．

点评 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，一次函数图象上点的坐标特征，正确求出函数解析式是解题的关键．