Question

4．受中日钓鱼岛事件的影响，在钓鱼岛被“国有化”的2012年9月份，某日本品牌食用油价格开始回落，食用油批发商批发这种品牌的食用油，每桶在9月份前四周每周的平均销售价格变化如下表：

周数x	1	2	3	4
价格y1（元/桶）	60	59	58	57

进入10月份后，由于受中日关系趋于缓和等因素的影响，食用油的价格开始回升，该品牌食用油销售价格y₂（元/桶）从10月份第1周的54元/桶，上升至第2周的57元/桶，且销售价格y₂（元/桶）与周数x（x为整数）的变化情况满足二次函数：y₂=-$\frac{1}{4}$x²+bx+c．
（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出9月份y₁与x的函数关系式；并求出10月份y₂与x的函数关系式．
（2）若9月份该品牌的食用油进价m₁（元/桶）与周数x满足函数关系为：m₁=$\frac{1}{3}$x²-3x+50，10月份该品牌的食用油进价m₂（元/桶）与周数x满足函数关系为：m₂=$\frac{7}{2}$x+$\frac{81}{2}$，试问在9月份和10月份中，哪月的哪一周销售一桶该品牌的食用油利润最大？最大利润是多少？
（3）在第（2）问的条件下，该批发商在10月份的第2周以该周的进价购入该品牌食用油1200桶，准备在10月份第3周进行销售．在第3周以该周的销售价销售了a%后，为了加快销售的进度，该批发商决定在原销售价格的基础上每桶降价4元进行销售，这样顺利地完成了第三周销售1200桶的任务，且获利12000元，算出a的值．

Answer 1

分析 （1）根据表格数据，可得出y₁与x的函数关系式；将点（1，54），（2，57）代入，可得出y₂与x的函数关系式；
（2）分别得出二月份、三月份的利润表达式，然后利用配方法求出最值，继而比较可得出答案．
（3）根据题意，令x=2求出m₂，令x=3求出y₂，然后列出方程，解出a的值即可，注意考虑实际情况进行取舍．

解答 解：（1）9月份：根据表格可得：y₁=-x+61（1≤x≤4，x为整数）；
10月份：∵当x=1时，y=54；当x=2时，y=57，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b+c-\frac{1}{4}=54}\\{2b+c-1=57}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{15}{4}}\\{c=\frac{101}{2}}\end{array}\right.$
故y₂=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{15}{4}$x+$\frac{101}{2}$．
（2）设第x周的利润为w元，
9月份：w=y₁-m₁=（-x+61）-（$\frac{1}{3}$x²-3x+50）=-$\frac{1}{3}$x²+2x+11=-$\frac{1}{3}$（x-3）²+14，
∵-$\frac{1}{3}$＜0，
∴开口向下，
又∵对称轴是：直线x=3，
∴当x=3时，w_最大=14；
10月份：w=y₂-m₂=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{15}{4}$x+$\frac{101}{2}$-（$\frac{7}{2}$x+$\frac{81}{2}$）=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{4}$x=10=-$\frac{1}{4}$（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{161}{16}$
∵-$\frac{1}{4}$＜0，
∴开口向下，
又∵对称轴是：直线x=$\frac{1}{2}$，
∴当1≤x≤4时，w随x的增大而减小，
∴当x=1时，w_最大=10，
∵14＞10，
∴9月份的第3周，利润最大，最大利润为14元/桶．
（3）在m₂=$\frac{7}{2}$x+$\frac{81}{2}$中，令x=2，得：m2=$\frac{95}{2}$，
在y₂=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{15}{4}$x+$\frac{101}{2}$中，令x=3，得：y₂=$\frac{119}{2}$，
∴a%×1200×（$\frac{119}{2}-\frac{95}{2}$）+（1-a%）×1200×（$\frac{119}{2}-\frac{95}{2}$-4）=12000，
解得：a=50．

点评 本题考查了二次函数的应用，题目所给信息量比较大，注意仔细审题，得到解题需要的信息，将实际问题转化为数学模型进行求解，难度较大．