Question

某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：
（1）操作发现：在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连结MD和ME，则下列结论正确的是

 

（填序号即可）．
AF=AG=

1

2

AB；②MD=ME；③整个图形是轴对称图形；④MD⊥ME．
（2）数学思考：在任意△ABC中，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连结MD和ME，则MD与ME有怎样的数量关系？请给出证明过程；
（3）类比探究：在任意△ABC中，仍分别以AB、AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连结MD和ME，试判断△MDE的形状．
答：

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：几何综合题

分析：（1）由图形的对称性易知①、②、③都正确，④∠DAB=∠DMB=45°也正确；
（2）取AB、AC的中点F、G，连接DF，MF，EG，MG，根据三角形的中位线的性质和等腰直角三角形的性质就可以得出四边形AFMG是平行四边形，从而得出△DFM≌△MGE，根据其性质就可以得出结论；
（3）取AB、AC的中点F、G，连接DF，MF，EG，MG，DF和MG相交于H，根据三角形的中位线的性质K可以得出△DFM≌△MGE，由全等三角形的性质就可以得出结论．

解答：解：（1）通过操作和图形的轴对称性可以发现：①②③是正确的；
∵AB=AC，BM=CM，
∴AM⊥BC，
∴∠AMB=∠AMC=90°，
∵∠ADB=90°，
∴四边形ADBM四点共圆，
∴∠AMD=∠ABD=45°．
∵AM是对称轴，
∴∠AME=∠AMD=45°，
∴∠DME=90°，
∴MD⊥ME，故④正确，
故答案为：①②③④．
（2）MD=ME，
理由：如图1，取AB、AC的中点F、G，连接DF，MF，EG，MG，

∴AF=

1

2

AB，AG=

1

2

AC．
∵△ABD和△AEC是等腰直角三角形，
∴DF⊥AB，DF=

1

2

AB，EG⊥AC，EG=

1

2

AC，
∴∠AFD=∠AGE=90°，DF=AF，GE=AG．
∵M是BC的中点，
∴MF∥AC，MG∥AB，
∴四边形AFMG是平行四边形，
∴AG=MF，MG=AF，∠AFM=∠AGM．
∴MF=GE，DF=MG，∠AFM+∠AFD=∠AGM+∠AGE，
∴∠DFM=∠MGE．
在△DFM和△MGE中，

MF=GE ∠DFM=∠MGE DF=MG

，
∴△DFM≌△MGE（SAS），
∴DM=ME；

（3）如图2，取BC、AB和AC的中点M、F、G，连接MF、DF、MG、EG．

∴MF∥AC，MF=

1

2

AC，MG∥AB，MG=

1

2

AB，
∴四边形MFAG是平行四边形，
∴MG=AF，MF=AG，∠AFM=∠AGM，
∵△ADB和△AEC是等腰直角三角形，
∴DF=AF，GE=AG，∠AFD=∠BFD=∠AGE=90°，
∴MF=EG，DF=MG，∠AFM-∠AFD=∠AGM-∠AGE，
即∠DFM=∠MGE．
在△DFM和△MGE中，

MF=EG ∠DFM=∠MGE DF=MG

，
∴△DFM≌△MGE（SAS），
∴MD=ME，∠MDF=∠EMG．
∵MG∥AB，
∴∠MHD=∠BFD=90°，
∴∠HMD+∠MDF=90°，
∴∠HMD+∠EMG=90°，
即∠DME=90°，
∴△DME为等腰直角三角形．

点评：本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定及性质、三角形的中位线的性质、直角三角形的斜边上的中线的性质、平行四边形的判定及性质及运用，解答时根据三角形的中位线的性质构造全等三角形是解答本题的关键．