Question

（10分）在平面直角坐标系中，如图所示，△ABC是边长为2的等边三角形，将△ABC绕着点B按顺时针方向旋转得到△EDB，使得点E落在轴的正半轴上，连结CE、AD、

（1）求证：AD=CE；

（2）求AD的长；

（3）求过C、E两点的直线的解析式.

Answer 1

（1）见解析；（2）AD=2；（3）

【解析】

试题分析：（1）根据旋转图形可得：AB=BC，BD=BE，∠ABD=∠CBE=120°得出△ABD和△CBE全等，得出所求的结论；（2）作DF⊥AE交x轴于点F，则F为BE的中点，根据Rt△BDF的勾股定理求出DF的长度，根据Rt△ADF的勾股定理求出AD的长度；（3）作CG⊥AB交 轴于点G，则G为AB的中点，求出AG和CG的长度得出点C的坐标，根据AE=BB+BE求出点E的坐标，然后利用待定系数法求出函数解析式.

试题解析：（1）∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴AC=AB=BC=2,∠ACB=∠CBA=∠BAC=60°

又△DBE是由△ABC绕着点B按顺时针方向旋转得到的，∴△DBE也是边长为2的等边三角形，

∴∠DBC=180°-60°-60°=60°，AB=BC，BD=BE又∠ABD =∠CBE=120°

∴△ABD≌△CBE（SAS） ∴AD=CE（全等三角形的对应边相等）

（2）作DF⊥AE交x轴于点F，则F为BE的中点，∴BF=1

在Rt△BDF中，BD=2,BF=1,由勾股定理得：DF2=BD2-BF2=4-1=3，∴DF=

在Rt△ADF中，AF=AB+BF=2+1=3, 由勾股定理得：AD2=AF2+DF2=9+3=12， ∴

（3）作CG⊥AB交 轴于点G，则G为AB的中点，∴AG=1，CG=DF=

∴C点的坐标是（1, ）,又AE=AB+BE=2+2=4， 故E点的坐标是（4,0）

设过C、E两点的直线的解析式为y=kx+b，将C,E点的坐标代入解得,

∴过C、E两点的直线的解析式为

考点：三角形全等的判定与应用、待定系数法求函数解析式.