Question

直角三角形ABC周长为p，面积为s，其中∠C=90°．试用p和s表示线段AB的长度，并写出以线段AC和BC的长度为两根的一个一元二次方程．

Answer 1

分析：先根据题意画出三角形，再根据勾股定理、三角形的周长公式及面积公式得到关于AC、BC和AB的方程组，用p、s表示出线段AB、AC、BC的长度；

解答：解：∵直角三角形ABC周长为p，面积为s，其中∠C=90°，
∴

AC2+BC2=AB2① AC+BC+AB=p② 1 2 BC•AC=s③

，由②得，AC+BC=p-AB…④，把①变形为（AC+BC）²=AB²+2AC•BC，
把③④代入得，（p-AB）²=AB²+4s，解得AB=

p

2

-

2s

p

；
∵AB=

p

2

-

2s

p

，∴AC+BC=p-

p

2

+

2s

p

=

p

2

+

2s

p

，
∵AC•BC=2s，
∴以线段AC和BC的长度为两根的一个一元二次方程可以为：x²-（

p

2

+

2s

p

）x+2s=0．

点评：本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及勾股定理、三角形的面积公式，根据题意列出关于直角三角形三边的关系式是解答此题的关键．